java--快速幂

        今天刷lintcode的时候看到一道题，快速求幂的，即求
                         

       常规方法是如下：

while(b-- > 0){
      a  *= a;
}
return a;

      他的复杂度是O(N)。

 

       还有一种更有效率的做法，利用二进制（强大的二进制，如果涉及到int处理，最好先看看能不能使用二进制）：

        首先，对于任意的int   n都有：
              

 
         那么自然，

 

其中p(n) = 1或0       是不是感觉很熟悉，从0遍历 到i-1就可以了。。。。

写一下代码就是：

             public int power(int a,int n){
		if (n == 0) {
			return 1 ;
		}
		if (n == 1) {
			return a ;
		}
                //利用递归方法，递归i-1次计算
		int temp = power(a, n >> 1);
		temp = temp * temp ;
		if((n & 1) == 1){
			temp = temp * a;
		}
		return temp;
}

     代码主要逻辑在这里：

 //利用递归方法，递归i-1次计算
		int temp = power(a, n >> 1);
		temp = temp * temp ;
		if((n & 1) == 1){
			temp = temp * a;
		}
		return temp;

      假设temp = power(a,n>>1)是已经把第j位计算出来了（最开始计算的是第1位的结果），然后下边的代码

temp = temp * temp ;
		if((n & 1) == 1){
			temp = temp * a;
		}
		return temp;

 是计算第j+1位的结果（最高位是第一位）。if((n & 1) == 1)  这个判断是判断P(n)是否是0。如n=2， 二进制表示为10，那么递归的返回条件里，匹配到这个条件：

if (n == 1) {

			return a ;

		}

 即temp = power(a,n>>1)这行的第一个返回结果是a，那么在下面

temp = temp * temp ;
		if((n & 1) == 1){
			temp = temp * a;
		}
		return temp;

 这段代码，是计算10的第二位，即0这位，首先temp = a，那么temp = temp * temp 结果也是a*a，n&1 =0;所以temp = temp * a 不执行;  最终结果是a*a，即n=2的时候，返回结果是a*a。当n更大的时候，同理。

        下面是lintcode的140题的代码：

public int fastPower(int a, int b, int n) {
		// write your code here
		if (n == 0) {
			return 1 % b;
		}
		if (n == 1) {
			return a % b;
		}
		long temp = fastPower(a, b, n >> 1);
		temp = temp * temp % b;
		if((n & 0x1) == 1){
			temp = temp * a % b;
		}
		return (int)temp;
	}

 需要注意的是这个：long temp = fastPower(a, b, n >> 1); 我刚开始用的是int，结果出错了。。 因为fastPower(a, b, n >> 1);的返回结果可能会超过int的限度，所以我后期改成了long，也算一个小bug。。。