动态规划 之最短路径问题

问题参考：

http://iprai.hust.edu.cn/icl2002/algorithm/algorithm/technique/dynamic_programming/introduction.htm#example1

现有一张地图，各结点代表城市，两结点间连线代表道路，线上数字表示城市间的距离。如图1所示，试找出从结点A到结点E的最短距离。

我们可以用深度优先搜索法来解决此问题，该问题的递归式为

其中是与v相邻的节点的集合，w(v,u)表示从v到u的边的长度。

这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为O(n!)，这是一个“指数级”的算法。

首先，我们来观察一下这个算法。在求从B1到E的最短距离的时候，先求出从C2到E的最短距离；而在求从B2到E的最短距离的时候，又求了一遍从C2到E的最短距离。也就是说，从C2到E的最短距离我们求了两遍。同样可以发现，在求从C1、C2到E的最短距离的过程中，从D1到E的最短距离也被求了两遍。而在整个程序中，从D1到E的最短距离被求了四遍。如果在求解的过程中，同时将求得的最短距离"记录在案"，随时调用，就可以避免这种情况。于是，可以改进该算法，将每次求出的从v到E的最短距离记录下来，在算法中递归地求MinDistance(v)时先检查以前是否已经求过了MinDistance(v)，如果求过了则不用重新求一遍，只要查找以前的记录就可以了。这样，由于所有的点有n个，因此不同的状态数目有n个，该算法的数量级为O(n)。

更进一步，可以将这种递归改为递推，这样可以减少递归调用的开销。

代码如下：

#include <iostream>
#include <fstream>
usingnamespace std;

ifstream fin("in.txt");
#define maxLength 20

int matrix[maxLength][maxLength]; //有向图的邻接表
int minPath[maxLength]; //存储这每个节点到终点的最短路径
int trace[maxLength]; //记录下最短线路
int v_n; //节点个数

int MinDistance(int v)
{
if(minPath[v]>0) return minPath[v];
if(v==v_n-1) return 0; //边界值
int min=1000,t,j;
for(int i=v+1;i<v_n;i++)
 {
if(matrix[v][i]>0)
 {
 t = matrix[v][i]+MinDistance(i);
if(min>t){ min=t; j=i;}
 }
 }
 minPath[v]=min;
 trace[v]=j;
return minPath[v];
}

int main()
{

 fin>>v_n;
for(int i=0;i<v_n;i++)
 {
for(int j=0;j<v_n;j++)
 {
 fin>>matrix[i][j];
 cout<<matrix[i][j]<<"-";
 }
 cout<<endl;
 }
 memset(minPath,0,sizeof(int)*maxLength);
 memset(trace,0,sizeof(int)*maxLength);
int minD = MinDistance(0);
 cout<<"最短路径："<<minD<<endl;
 i=0;
 cout<<"1-->";
while(minD>0)
 {
 cout<<trace[i]+1<<"-->";
 minD = minD-matrix[i][trace[i]];
 i = trace[i];
 }
 cout<<endl;
return 0;
}

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

ifstream fin("in.txt");
#define maxLength 20

int matrix[maxLength][maxLength];   //有向图的邻接表
int minPath[maxLength];             //存储这每个节点到终点的最短路径
int trace[maxLength];               //记录下最短线路
int v_n; //节点个数

int MinDistance(int v)
{
	if(minPath[v]>0) return minPath[v]; 
	if(v==v_n-1) return 0;     //边界值
	int min=1000,t,j;
	for(int i=v+1;i<v_n;i++)
	{
		if(matrix[v][i]>0) 
		{	
			t = matrix[v][i]+MinDistance(i);
			if(min>t){ min=t; j=i;}
		}
	}
	minPath[v]=min;
	trace[v]=j;
	return minPath[v];
}

int main()
{
	
	fin>>v_n;
	for(int i=0;i<v_n;i++)
	{
		for(int j=0;j<v_n;j++)
		{
			fin>>matrix[i][j];
			cout<<matrix[i][j]<<"-";
		}
		cout<<endl;
	}
	memset(minPath,0,sizeof(int)*maxLength);
	memset(trace,0,sizeof(int)*maxLength);
	int minD = MinDistance(0);
	cout<<"最短路径："<<minD<<endl;
	i=0;
	cout<<"1-->";
	while(minD>0)
	{
		cout<<trace[i]+1<<"-->";
		minD = minD-matrix[i][trace[i]];
		i = trace[i];
	}
	cout<<endl;
	return 0;
}

输入文件：in.txt

（例子来源于《算法设计与分析》（夏红霞 主编）教材147页例题）

12
0 9 7 3 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 4 2 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 7 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 11 8 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 6 5 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 6 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

输出文件：

0-9-7-3-2-0-0-0-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-4-2-1-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-2-7-0-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-0-0-11-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-0-11-8-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-0-0-0-6-5-0-0-
0-0-0-0-0-0-0-0-5-3-0-0-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-5-6-0-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-4-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-2-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-5-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-
最短路径：16
1-->2-->7-->10-->12-->