sicp 求幂

通常，求bⁿ可以利用下面的递归方式：

b^{n =} b*b^n-1

b^{0 = 1}

代码如下：

;normal Recursive
(define (expt b n)
   (if (= n 0) 
       1
       (* b (expt b (- n 1)))))

这种递归空间复杂度是n，可以改进为迭代方式：

;normal Iterative
(define (expt2 b n)
   (define (expt-iter b counter product)
       (if (= counter 0)
           product
           (expt-iter b (- counter 1) (* b product)))))
   (expt-iter b n 1)

现在的空间复杂度就变为了1.

如果采用连乘的方式：

n为偶数：bⁿ = ^（b^n/2）2

n为奇数：bⁿ = b*b^n-1  

就可以用下面代码描述了：

;continue mul Recursive
(define (expt3 b n)
   (cond ((= 0 n) 1)
         ((even? n) (square (expt3 b (/ n 2))))
         (else (* b (expt3 b (- n 1))))))

;判断是否为偶数
(define (even? n)
   (= (remainder n 2) 0))

这种过程只需要logn 加上 n的二进制表示中1的个数 减去 1 次即可计算完成。时间复杂度又下降很多。

然而空间复杂度（logn）还是可以改进。

那就是采用连乘的迭代计算过程，下面代码描述了该过程：

;continue mul Iterative
(define (fast1 b n)
   (define (fast-expt a b n)
      (cond ((= 0 n) a)
            ((and (= 1 n) (= 1 a)) b)
            ((= 1 n) a)
            ((even? n) (fast-expt (* a b b) b (/ n 2)))
            (else (fast-expt (* a b b b) b (/ (- n 1) 2) ))))
   (fast-expt 1 b n))

;continue mul Iterative
;the next answer found at http://community.schemewiki.org/?sicp-ex-1.16
(define (fast2 b n) 
   (define (iter a b n) 
     (cond ((= n 0) a) 
           ((even? n) (iter a (square b) (/ n 2))) 
           (else (iter (* a b) b (- n 1))))) 
   (iter 1 b n)) 
  
 (define (square x) (* x x)) 

第二种方式是在网上找到的，比较巧妙，在改变状态的同时，改变基数来满足乘积不变。

一般说，定义一个不变量，要求他在状态之间保持不变，这一技术是思考迭代算法设计问题时的一个重要方法。

在已经提供的参数（这里是指数n和基数b）之外，如何确定一个附加的状态变量a，在状态变化时，保持不变量（用状态变量a，和已经提供的参数表示，在这里值就是b^n）。