sicp 第一章 递归 迭代
sicp第一章看完了回头做上面的练习题，发现很多东西根本没有弄懂。由于这本书比较难，精力时间有限，打算暑假看完前面两章，完成习题，第三章简略看下，最后两章以后再看。
书上内容都很精细，所以博客里也不会写太多书上的内容，如果感兴趣可以直接看书。博客里主要记录一些解题思路，和延伸的知识。
一、练习题
Exercise 1.11 gives us a function defined by the rules that
f(n) = n if n < 3
f(n) = f(n - 1) + 2f(n - 2) + 3f(n -3) if n ≥ 3
f(n) = f(n - 1) + 2f(n - 2) + 3f(n -3) if n ≥ 3
and asks us to write both recursive and iterative procedures for the function.
要求分别写出递归计算过程和迭代计算过程。
下面代码是scheme（lisp的一种方言）写的：
(define (f n)
(cond ((< n 3) n)
(else (+ (f (- n 1))
(* 2 (f (- n 2)))
(* 3 (f (- n 3)))))))
;the function is f(n) = f(n-1) + 2f(n-2) + 3f(n-3)
;f(n) :a b c is n n-1 n-2
;f(n+1): a+2b+3c a b is n+1 n n-1
(define (f-iter a b c count)
(if (< count 3) a
(f-iter (+ a (* 2 b) (* 3 c)) a b (- count 1))))
(define (fi n)
(f-iter 2 1 0 n))
其中f函数是递归计算过程，函数fi是迭代计算过程。迭代比递归效率高很多，但是写起来费脑力。
迭代可以参考之前斐波那切数列python版本的尾递归http://my.oschina.net/hebianxizao/blog/62328，只不过，这题里多了一个变量。
还有一道题目：
Exercise 1.13 asks us to prove that Fib(n) is the closest integer to φn/√5, where
φ = (1 + √5)/2.
Use induction and the definition of Fibonacci numbers to prove that
Fib(n) = (φ
n - ψ
n) / √5
想了一会儿证不出来。在 http://www.billthelizard.com/2009/12/sicp-exercise-113-fibonacci-and-golden.html找到一个很流畅清晰的证明思路。
证明极限是黄金比例分割可以这样证明：
f(n+1) = f(n) + f(n-1)
两边除以f(n)得到：
f(n+1)/f(n) = 1 + f(n-1)/f(n)
假设f(n+1)/f(n)极限存在，极限为x
x = 1+1/x
x = (1 + √5)/2
二、延伸
换零钱方式的统计
给了半美元，四分之一美元，10美分，5美分，1美分的硬币，将1美元换成零钱，一共多少种不同方式？
采用递归过程，就可以利用下面的关系：
总数为a的现金换成n种硬币的不同方式的数目等于
现金数a换成除第一种硬币之外的所有其他硬币的不同方式，加上
现金数a减去d换成所有种类的硬币的不同方式数目，其中d是第一种硬币的币值。
把这个描述转换成代码描述是很简单的一件事。
想起去年师兄找工作期间讨论的一道笔试题：
有一段楼梯有500级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第500级台阶有几种不同的走法?
这是一个比较明显的斐波那切数列问题，f(500) = f(499) + f(498)，如果把规定每一步跨一级或两级改成每一步跨一级，两级，三级，解就是 f(500) = f(499) + f(498) + f(497)
实际上这个题目跟换零钱方式是一样的，换零钱方式是一个通用的解决思路。
三、总结
在杨辉三角，兔子繁殖问题都可以用斐波那切数列解决。
而解决这些问题的本质就是深入理解递归，迭代。