【HDU】2138 How many prime numbers

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2138

题意：给n个数判断有几个素数。（每个数<=2^32）

#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll ipow(ll a, ll b, ll m) { ll x=1; for(; b; b>>=1, (a*=a)%=m) if(b&1) (x*=a)%=m; return x; }

ll rand(ll a, ll b) {

	static const ll M=1e9+7, g=154865266;

	static ll now=1283901ll;

	return a+((now*=g)%=M)%(b-a+1);

}

bool check(ll x) {

	if(x==2 || x==3 || x==5 || x==7 || x==11 || x==13) return 1;

	if(x<2 || (x&1)==0 || (x%3)==0 || (x%5)==0 || (x%7)==0 || (x%11)==0 || (x%13)==0) return 0;

	int cnt=0;

	ll d=x-1; while((d&1)==0) d>>=1, ++cnt;

	for(int T=1; T<=50; ++T) {

		int a=rand(2, x-1);

		ll t=ipow(a, d, x), pre;

		for(int i=1; i<=cnt; ++i) { pre=t; (t*=t)%=x; if(t==1 && pre!=1 && pre!=x-1) return 0; }

		if(t!=1) return 0;

	}

	return 1;

}

int main() {

	int n;

	while(~scanf("%d", &n)) {

		int ans=0;

		for(int i=1; i<=n; ++i) { int a; scanf("%d", &a); if(check(a)) ++ans; }

		printf("%d\n", ans);

	}

	return 0;

}

　　

学习了素数检测= =Miller-Rabin...复杂度$O(k log^3 n)$，k是选的$a$的个数

其实基于两个定理：费马小定理和二次探测...

首先如果$n$是奇素数，那么显然对于所有的$1 \le a < n$，都有$a^{(n-1)} \equiv 1 \pmod{n}$，那么我们马上可以得到一个暴力算法= =（比枚举约数还慢系列= =

然后用那啥二次探测定理然后随机选一些$a$然后一定概率来检测$n$= =（听说单次检测是$3/4$的概率= =那么多次检测成功率很高= =$n$次的能检测出来的概率就是$1 - \left( \frac{1}{4} \right) ^n$

二项探测就是指如果$n$是素数，则$x^2 \equiv 1 \pmod{n}, 0<=x<n$的只有就是$x = 1 或 x = n-1$

证明：容易得到$p | (x+1)(x-1)$。而由于$p$是质数，所以$(x+1)$和$(x-1)$中至少一个被$p$整除。那么容易得到$x = \pm 1$，即$x \equiv 1 或 x \equiv n-1$

然后我们就将$n-1$分解成$2^sd$其中$d$为奇数。这样我们从$a^d$开始向上算，每一次平方一次，如果等于$1$而上一次却不等于$\pm 1$，那么为合数。