次调和函数与上调和函数定义

题目

问题3.
(a) 具有前一个问题中性质(a)（或(b)，无关紧要）的函数被称为次调和函数。
(b) 具有性质(a)$${}^{\prime }$$（或(b)$${}^{\prime }$$，无关紧要）的函数被称为上调和函数。

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解决图片中的题目

图片内容定义了次调和函数（subharmonic）和上调和函数（superharmonic），但这些定义依赖于“前一个问题”（即问题2）中给出的性质。由于问题2的具体内容未在图片中提供，我将基于调和函数理论的标准定义进行解释和推导。次调和函数和上调和函数是复分析或偏微分方程中的重要概念，通常与平均值不等式相关。

关键概念回顾（基于标准理论）

1. 问题2中的性质（常见标准形式）：
   在调和函数理论中，问题2可能定义了以下性质（这些是典型表述）：

   • 性质(a): 对于函数 $$u$$ 和区域 $$D$$ 中的点 $$z$$，存在 $$r>0$$ 使得以 $$z$$ 为中心、半径为 $$r$$ 的闭圆盘 $$\overline{B(z,r)}\subset D$$，并满足平均值不等式：
     $$u(z)\le \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z+r{e}^{i\theta })d\theta$$
     这表示函数在中心点的值不大于其在圆周上的平均值。
   • 性质(b): 等价于性质(a)，或可能涉及次调和函数的其他等价定义（如凸性条件或最大值原理）。
   • 性质(a)$${}^{\prime }$$: 是性质(a)的“对偶”，即满足反向不等式：
     $$u(z)\ge \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z+r{e}^{i\theta })d\theta$$
     这表示函数在中心点的值不小于其在圆周上的平均值。
   • 性质(b)$${}^{\prime }$$: 等价于性质(a)$${}^{\prime }$$，或涉及上调和函数的其他等价定义。

   问题3指出，性质(a)和(b)是等价的（“or (b) does not matter”），因此它们都定义次调和函数；类似地，性质(a)$${}^{\prime }$$和(b)$${}^{\prime }$$都定义上调和函数。

2. 次调和函数与上调和函数的定义（基于问题3）：

   • 次调和函数（subharmonic）: 如果一个函数 $$u:D\to \mathbb{R}$$（其中 $$D\subset \mathbb{C}$$ 是开集）满足问题2中的性质(a)或(b)，则称 $$u$$ 为次调和函数。
     • 直观意义：$$u$$ 在局部“低于”调和函数（例如，调和函数满足等号）。
     • 例子：$$u(z)=|z{|}^2$$ 在 $$\mathbb{C}$$ 上是次调和函数。
   • 上调和函数（superharmonic）: 如果一个函数 $$u:D\to \mathbb{R}$$ 满足问题2中的性质(a)$${}^{\prime }$$或(b)$${}^{\prime }$$，则称 $$u$$ 为上调和函数。
     • 直观意义：$$u$$ 在局部“高于”调和函数。
     • 例子：$$u(z)=-|z{|}^2$$ 在 $$\mathbb{C}$$ 上是上调和函数。
   • 关系：$$u$$ 是上调和函数当且仅当 $$-u$$ 是次调和函数。

推导与证明（解决题目）

问题3本身是定义性的，没有直接要求“解决”的具体问题（如证明或计算）。但基于上下文，我假设题目意图是理解这些定义并验证其基本性质。以下是关键推导：

1. 次调和函数的基本性质证明：

   • 定理: 如果 $$u$$ 是次调和函数，则 $$u$$ 满足局部最大值原理：即 $$u$$ 不能在 $$D$$ 的内点取到严格最大值，除非 $$u$$ 是常数。
   • 证明概要（基于性质(a)):
     假设 $$u$$ 在 $$z_0\in D$$ 取到严格最大值，即存在邻域 $$B(z_0,r)\subset D$$ 使得 $$u(z)<u(z_0)$$ 对所有 $$z\in B(z_0,r)\setminus \{z_0\}$$。
     由次调和函数的性质(a)：
     $$u(z_0)\le \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z_0+r{e}^{i\theta })d\theta$$
     但右边积分中的 $$u(z_0+r{e}^{i\theta })<u(z_0)$$（因为 $$u$$ 在 $$z_0$$ 取最大值），所以：
     $$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z_0+r{e}^{i\theta })d\theta <\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z_0)d\theta =u(z_0)$$
     这导致矛盾：$$u(z_0)<u(z_0)$$。因此，假设错误，$$u$$ 不能在非边界点取严格最大值。

2. 上调和函数的基本性质证明：

   • 定理: 如果 $$u$$ 是上调和函数，则 $$u$$ 满足局部最小值原理：即 $$u$$ 不能在 $$D$$ 的内点取到严格最小值，除非 $$u$$ 是常数。
   • 证明概要（基于性质(a)$${}^{\prime }$$):
     类似地，假设 $$u$$ 在 $$z_0$$ 取严格最小值。由上调和函数的性质(a)$${}^{\prime }$$)：
     $$u(z_0)\ge \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z_0+r{e}^{i\theta })d\theta$$
     但 $$u(z_0+r{e}^{i\theta })>u(z_0)$$（最小值假设），所以：
     $$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z_0+r{e}^{i\theta })d\theta >u(z_0)$$
     这导致矛盾：$$u(z_0)>u(z_0)$$。因此，$$u$$ 不能在非边界点取严格最小值。

总结

• 问题3的解答：图片内容定义了次调和函数和上调和函数，基于问题2的性质。我使用标准理论解释了这些定义，并推导了关键性质（局部最大值/最小值原理）。
• 注意事项：由于问题2未提供，实际性质可能略有不同，但以上是常见表述。如果问题2有特定性质，请提供其内容以进一步精确解答。
• 应用建议：在练习中，可验证具体函数（如 $$u(z)=\text{Re}(z)$$ 调和，$$u(z)=|z{|}^2$$ 次调和）是否满足这些性质。