筛法求欧拉函数

欧拉函数

欧拉函数的定义

在$1\sim n$中与n互质的数的个数为欧拉函数，记为$\phi (n)$
比如$\phi (1)$=1，$\phi (2)$=1，$\phi (10)$=4

欧拉函数的性质

1. 如果p是质数，那么$\phi (p)$=$p-1$
2. 如果p是质数，那么$\phi (p^k)$=$(p-1)p^{k-1}$
3. 如果$gcd(n,m)=1$，那么$\phi (nm)$=$\phi (n)\ast \phi (m)$

这里简单介绍1，2的，对于第三点证明过于繁琐，感兴趣的同学下去寻找证明方法。

1. 如果p是质数，很明显在$1\sim p$中，除p外其他都与p互质，所以$\phi (p)$=$p-1$
2. 如果p是质数，$p^k$的质因子有p，所以在$1\sim p^k$中，与$p^k$互质的数也就是与p互质，所以求出在这个 范围与p互质的数有多少就行。
   我们已经知道在$1\sim p$中，与p互质的数有$p-1$个，那么在$p+1\sim 2p$之间，与p互质的数有哪些呢，根据辗转相除法也知道在这个范围除了$2p$，其他都与p互质，所以对于$p^k$，可以看成
   $$p\cdots 2p\cdots 3p\cdots 4p\cdots p^k$$
   每一段与$p^k$互质的数有$p-1$个，那么总共有多少段呢，已经知道每一段长p，总长为$p^k$，总共会有$$p^k/p=p^{k-1}段$$
   相乘起来得到$\phi (p^k)$=$(p-1)p^{k-1}$

怎么求欧拉函数

根据算术基本定理（唯一分解定理）我们知道一个数n可以表示为：
$$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}$$
$p_i和p_j(i\ne j)$是互质的，也就是说$\phi (p_i\ast p_j)$=$\phi (p_i)\ast \phi (p_j)$
因为$p_i^{a_i}和p_j^{a_j}$也是互质的，所以$\phi (p_i^{a_i}\ast p_j^{a_j})$=$\phi (p_i^{a_i})\ast \phi (p_j^{a_j})$
那么我们就可以根据算术基本定理来计算$\phi (n)$
$\phi (n)=\phi ({\prod }_{i=1}^k{p}_i^{a_i})$
$={\prod }_{i=1}^k\phi (p_i^{a_i})$
$={\prod }_{i=1}^k(p_i-1){p_i}^{a_i-1}$
$={\prod }_{i=1}^k{p}_i^{a_i}(1-\frac{1}{p_i})$
$={\prod }_{i=1}^k{p}_i^{a_i}\ast {\prod }_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$
$=n\ast {\prod }_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$
$=n\ast \frac{p_1-1}{p_1}\ast \frac{p_2-1}{p_2}\ast \frac{p_3-1}{p_3}\cdots \frac{p_k-1}{p_k}$

最终我们发现欧拉函数只与它本身和其质因子有关，和质因子的次数无关，比如60，它的质因子为2，3，5
$\phi (60)=60\ast \frac{2-1}{2}\ast \frac{3-1}{3}\ast \frac{5-1}{5}=16$
所以就可以使用求质因数求出来后，算出n的欧拉函数

筛法求$1\sim n$的欧拉函数

如果 i是质数，那么$phi[i]=i-1$
如果是合数m，我们找到m的最小质因子p，就有$m=p\ast j$
此时分两种情况

• j会被p整除，则j会包含了m的所有质因子，只是质因子p的指数不一样
  我们知道$\phi (m)=m\ast {\prod }_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})=p\ast j\ast {\prod }_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})=p\ast \phi (j)$
• j不会被p整除，那么它们两个互质。所以$\phi (m)=\phi (p\ast j)=\phi (p)\ast \phi (j)$

所以在用线性筛（欧拉筛）的时候我们已经记录了每个i的最小质因子，所以可以利用欧拉筛求出$1\sim n$的欧拉函数

欧拉函数参考代码

#include
using namespace std;
using ll =long long ;

const int N=1e6;
int p[N],v[N];
int cnt;
int phi[N];

int getPhi(int n){
//	求n的欧拉函数
	int res=n;
	for(int i=2;i<=n/i;i++){
		if(n%i==0){
			res=res/i*(i-1);
			while(n%i==0)n/=i;
		}
	}
	if(n>1)res=res/n*(n-1);
	return res;
}

void get_Phi(int n){
//	求1-n的欧拉函数
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!v[i]){
			v[i]=i;
			phi[i]=i-1;
			p[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt;j++){
			if(p[j]>i||p[j]>n/i)break;
			int m=i*p[j];
			v[m]=p[j];
			if(i%p[j]==0){
				phi[m]=p[j]*phi[i];
			}
			else{
				phi[m]=phi[j]*phi[i];
			}
		}
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
//	int phi=getPhi(n);
	get_Phi(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<phi[i]<<' ';
	cout<<endl;
}