DP学习笔记(8):完全背包求方案数，01背包求具体方案

完全背包求方案数

常规分析

在上一篇我们学习了01背包求方案数，今天我们学习完全背包求方案数。

首先我们要区分一下01背包和完全背包的区别，01背包中的物品只有一个只有选或不选，完全背包中的物品有无限件实际有m/w[i]件，可以多选。

我们在学习01背包求方案数时，要将 j 倒序来避免多选问题，在完全背包上我们需要多选，所以将 j 改为正序循环就可以满足我们的需求

核心的状态和状态转移方程都是一样的

状态:dp[j]前i件物品在背包容量不超过j的情况下的最多方案数

状态转移方程：if(j>=w[i]) dp[j]+=dp[j-w[i]]

下面我们使用一道例题来验证我们的想法是否正确

例题：奥赛一本通——1293：买书

【题目描述】

小明手里有n元钱全部用来买书，书的价格为10元，20元，50元，100元。

问小明有多少种买书方案？（每种书可购买多本）

【输入】

一个整数 n，代表总共钱数。（0≤n≤1000）

【输出】

一个整数，代表选择方案种数。

【输入样例】

20

【输出样例】

2

【提示】

样例输入

样例输入2：

15

样例输入3：

0

样例输出

样例输出2：

0

样例输出3：

0

题目分析： 

钱全花完，可以看作要求可以凑出n的方法数，并且n=0时 答案为0，但是我们需要dp[0]=1来进行后面的计算，所以n=0要单独拿出来讨论，下面给代码，然后推理一下dp表

#include
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10, M = 1e3 + 10;
int w[N];//w-容量，价格
int dp[M];
/*
状态:dp[j]前i件物品在背包容量不超过j的情况下的最多方案数
*/
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	if (n == 0)
	{
		cout << 0;
		return 0;
	}
	w[1] = 10, w[2] = 20, w[3] = 50, w[4] = 100;
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 4; i++) {
		for (int j = w[i]; j <= n ; j++) {
			dp[j] += dp[j - w[i]];
		}
	}
	cout << dp[n];
}

就拿n=20为例

i=1时 w[1]=10;

dp[10] =dp[10]+dp[10-10]=0+1=1;表示用 10 凑出 10 的方案数，下面都是一样的就不一 一阐述

dp[11] =dp[11]+dp[11-10]=0+0=0;表示用 10 凑出 11 的方案数,很明显是 0

dp[20]=dp[20]+dp[20-10]=0+dp[10]=1;表示用 10 凑出 20 的方案数

i=2时 w[i]=20

dp[20]=dp[20]+dp[20-20]=1+1=2;表示 用10，20 凑出20的方案数

i=3，i=4都是一样的

下面给出dp表

dp[1][10]=1

dp[1][11]=0

dp[1][12]=0

dp[1][13]=0

dp[1][14]=0

dp[1][15]=0

dp[1][16]=0

dp[1][17]=0

dp[1][18]=0

dp[1][19]=0

dp[1][20]=1
dp[2][20]=2

01背包求具体方案 

常规分析

求具体方案问题，我们在序列dp中也接触过，使用的时pre数组记录前驱节点的方法,这个方法在我们01背包求具体方案中也是可以使用的，具体的不多说，我们来说说另一个方法，在最终的dp[n][m]被求出之后，我们逆着回找那件物品选了没有，01背包的状态和状态转移方程这里不多说，放在下面的代码注释部分，不了解的可以再看一下。

这里主要给大家说一下我们在判断物品被选与否时的判断语句

 if(w[i]<=j&&dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + c[i])

首先 j>=w[i] 就不多说了 用来保证物品可以放下，同时处理越界问题，再进行一部分剪枝，优化代码

我们来说一下 dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + c[i] 首先我们发现这个dp数组是二维数组，因为我们要先求出整个dp表，再利用dp表来找具体方案，所以这个方法不可以使用滚动数组优化，因为滚动数组会覆盖先前的dp导致数据丢失

再说原理，根据01背包的状态转移方程dp[i][j]满足dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + c[i]，是不是就说明 dp[i][j] 是由 dp[i - 1][j - w[i]] 转移来的，因为我们遍历 i ，所以我们更新 j 就可以令 dp[i][j]=dp[i - 1][j - w[i]]，就是 j-=w[i]，再进行下次的寻找，是不是有点递归的味道了，我们在这个 “递归” 的过程中记录走过的路径就找到了我们要的方案

由于我没有找到相应的例题，就给大家一个代码供大家参考一下

#include
#include
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10, M = 1e3 + 10;
int w[N],c[N];//w-容量，价格,c-价值
int dp[N][M];
/*
状态:dp[i][j]前i件物品在背包容量不超过j的情况下的最多方案数
状态转移方程:
if (w[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j - w[i]] + c[i]);
*/
int main()
{
	int m, n;
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i] >> c[i];
	}
	//边界dp[0]=0
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = m; j >= 1; j--) {
			if (w[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			else dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j - w[i]] + c[i]);
		}
	}
	//求最大价值
	//cout << dp[n][m];
	//求具体方案
	vector res;
	for (int i = n, j = m; i >= 1; i--) {
		//证明第i件物品选了
		if (j >= w[i] && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + c[i]) {
			res.push_back(i);
			j -= w[i];
		}
	 }
	for (auto it : res)  cout<< it << " ";
}