【困难】题解力扣60：排列序列

题目详情

给出集合 [1,2,3,...,n]，其所有元素共有 n! 种排列。按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 n = 3 时，所有排列如下：

"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"

给定 n 和 k，返回第 k 个排列。

示例 1：
输入：n = 3, k = 3
输出：“213”

示例 2：
输入：n = 4, k = 9
输出：“2314”

示例 3：
输入：n = 3, k = 1
输出：“123”

提示：

• 1 <= n <= 9
• 1 <= k <= n!

---

解题思路

为了高效解决这个问题，我们使用数学方法直接计算第 k 个排列，避免枚举所有排列。核心思路是逐位确定排列中的每个数字：

1. 预处理阶乘值：计算 0! 到 (n-1)! 的值，用于后续计算每个位置的数字。
2. 可用数字列表：初始化一个包含数字 1 到 n 的列表。
3. 索引调整：将 k 减 1（因为排列索引从 0 开始）。
4. 逐位确定数字：
   • 对于第 i 位（i 从 0 开始），剩余数字个数为 m = n - i。
   • 计算当前数字在剩余数字列表中的索引：index = k / (m-1)!。
   • 从列表中取出该索引对应的数字，移除该数字。
   • 更新 k：k = k % (m-1)!。
5. 组合结果：将每次取出的数字组合成最终排列字符串。

数学原理：

• 对于 n 个数字的排列，第一位有 n 种选择，每种选择对应 (n-1)! 种排列。
• 通过 k / (n-1)! 可以确定第一位的数字索引。
• 更新 k 为余数后，递归处理剩余数字，直至确定所有位。

---

代码实现（Java版）

class Solution {
    public String getPermutation(int n, int k) {
        // 计算0!到(n-1)!的阶乘数组
        int[] factorial = new int[n];
        factorial[0] = 1; // 0! = 1
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            factorial[i] = factorial[i - 1] * i;
        }
        
        // 初始化可用数字列表（1~n）
        List<Integer> nums = new ArrayList<>();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            nums.add(i);
        }
        
        // 调整k为从0开始的索引
        k--;
        
        StringBuilder result = new StringBuilder();
        // 逐位确定数字
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            // 计算当前位的索引
            int index = k / factorial[i];
            // 取出该索引对应的数字并移除
            result.append(nums.remove(index));
            // 更新k为余数
            k %= factorial[i];
        }
        
        return result.toString();
    }
}

---

代码说明

1. 阶乘数组初始化：

   • factorial[i] 存储 i! 的值（i 从 0 到 n-1）。
   • 例如 n=4 时，factorial = [1, 1, 2, 6]（对应 0!, 1!, 2!, 3!）。

2. 可用数字列表：

   • 初始化为 [1, 2, ..., n]，每次确定一位后移除已使用的数字。

3. 索引调整：

   • 将 k 减 1 转换为从 0 开始的索引（例如第 1 个排列视为索引 0）。

4. 循环确定每位数字：

   • 索引计算：index = k / factorial[i] 确定当前位在剩余数字中的位置。
   • 更新列表：从列表中移除已使用的数字。
   • 更新余数：k = k % factorial[i] 用于计算下一位。

5. 时间复杂度：O(n²)，其中：

   • 外层循环 O(n)。
   • 列表移除操作 O(n)（ArrayList 的 remove 方法平均 O(n)）。

6. 空间复杂度：O(n)，用于存储阶乘数组和数字列表。

---

提交详情（执行用时、内存消耗）

感谢大家的阅读，我的力扣算法题解专栏正在持续更新，欢迎大家订阅！！如果觉得这篇内容对你有帮助，别忘了点赞+收藏+关注哦！！你的支持，将是我创作的最大动力