研究周期光滑函数集合的导数积分性质，证明集合的闭区间性质和不等式的成立

记$$B$$是所有定义在实轴$$\mathbb{R}$$上正的、以$$2\pi$$为周期并且满足如下条件
$$f>0,{\int }_0^{2\pi }(f^{{}^{\prime \prime }}(x){)}^{2}dx\le 1,\forall f\in B$$
的光滑周期函数构成的集合。对$$k>0$$，记$$S(k)$$是所有满足条件
$$\underset{f\in B}{\sup }{\int }_0^{2\pi }\frac{|f^{\prime }(x){|}^k}{(f(x){)}^{\alpha }}dx<\infty$$
的实数$$\alpha$$组成的集合。
（1）证明$$S(4)$$是闭区间，并且找出$$S(4)$$的最大值。
（2）证明存在常数C使得$$|f^{\prime }(x)|\le C{f}^{\frac{1}{3}}(x),\forall f\in B$$ 。
（3）证明$$S(2024)$$是闭区间，并且求出$$S(2024)$$的最大值。

（1）证明$$S(4)$$是闭区间，并且找出$$S(4)$$的最大值。
首先，根据定义，$$S(4)$$是所有使得$$\underset{f\in B}{\sup }{\int }_0^{2\pi }\frac{|f^{\prime }(x){|}^4}{(f(x){)}^{\alpha }}dx<\infty$$的实数$$\alpha$$组成的集合。
为了证明$$S(4)$$是闭区间，我们需要证明如果$${\alpha }_n$$是$$S(4)$$中的一个序列，并且$${\alpha }_n\to \alpha$$当$$n\to \infty$$，那么$$\alpha$$也属于$$S(4)$$。
假设$${\alpha }_n\in S(4)$$并且$${\alpha }_n\to \alpha$$，对于任意$$f\in B$$，我们有
$$$${\int }_0^{2\pi }($$