2007. 从双倍数组中还原原数组

【算法题解析】还原双倍数组 — 从打乱的数组恢复原数组

题目描述

给定一个整数数组 changed，该数组是通过对一个原始数组 original 的每个元素乘以 2 并打乱顺序后得到的。你的任务是判断给定的 changed 是否为某个 original 数组的双倍数组，并返回该原数组。

具体来说，存在一个数组 original，使得对 original 中的每个元素 x，changed 中都包含 x 和 2 * x 两个元素（顺序可能被打乱）。如果 changed 是这样的双倍数组，返回原始数组 original（元素顺序不限），否则返回空数组。

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示例

示例 1：

输入：changed = [1,3,4,2,6,8]
输出：[1,3,4]
解释：
一个可能的 original 数组为 [1,3,4]：
- 1 * 2 = 2，2 出现在 changed 中
- 3 * 2 = 6，6 出现在 changed 中
- 4 * 2 = 8，8 出现在 changed 中

示例 2：

输入：changed = [6,3,0,1]
输出：[]
解释：
不存在一个 original，使得 changed 是它的双倍数组。

示例 3：

输入：changed = [1]
输出：[]
解释：
数组长度为1，不能构成双倍数组。

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解题分析

这道题目本质是对数组元素的配对问题，给定一个“打乱”的数组 changed，试图找到一组元素 original，满足 changed 是将 original 和 original 中每个元素的双倍元素合并打乱后的结果。

关键点和难点在于：

• 需要确保每个元素 x 在 changed 中有对应的 2*x 来匹配。
• 数组可能包含重复元素。
• 特殊元素 0 需要特殊处理，因为 0 的双倍还是 0，必须成对出现。
• 原始数组长度是 changed 长度的一半，因此 changed 长度必须为偶数。
• 配对顺序很重要，应优先配对较小元素，避免先匹配了较大的导致匹配失败。

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解题方法

步骤1：初步筛选

• 如果 changed 长度是奇数，直接返回空数组，因为无法成对。

步骤2：统计频率

• 使用哈希表（Python 中的 collections.Counter）统计 changed 中每个元素出现的次数。

步骤3：按升序遍历所有元素，尝试配对

• 按升序遍历频率表中的元素 x。
• 如果频率为0，跳过（已被匹配）。
• 如果 x == 0，则必须保证频率为偶数，且配对元素也是 0 本身。
• 对于其他元素，检查其双倍元素 2*x 的频率是否足够与当前元素频率匹配。
• 如果不够，说明无法配对，返回空数组。
• 匹配成功后，将原数组中添加相应数量的 x，更新频率，减少 2*x 的计数。

步骤4：返回构造的原始数组

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代码实现（Python）

from collections import Counter
from typing import List

class Solution:
    def findOriginalArray(self, changed: List[int]) -> List[int]:
        if len(changed) % 2 != 0:
            return []
        
        count = Counter(changed)
        original = []
        
        for x in sorted(count.keys()):
            if count[x] == 0:
                continue
            
            # 特殊情况：x = 0，必须偶数个才能匹配
            if x == 0:
                if count[x] % 2 != 0:
                    return []
                original.extend([0] * (count[x] // 2))
                count[x] = 0
                continue
            
            double_x = 2 * x
            if count[double_x] < count[x]:
                return []
            
            original.extend([x] * count[x])
            count[double_x] -= count[x]
            count[x] = 0
        
        return original

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复杂度分析

• 时间复杂度：排序键值需要 O(k log k)，k 是不同数字个数。整体遍历频率表为 O(n)，n 是数组长度。总时间复杂度为 O(n log n)。
• 空间复杂度：使用了哈希表计数，最坏情况下空间复杂度为 O(n)。

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示例说明

以示例1为例：

changed = [1,3,4,2,6,8]

1. 统计频率：

数字	频率
1	1
2	1
3	1
4	1
6	1
8	1

1. 排序后遍历：

• x = 1，检查 2 * 1 = 2，2 的频率是1，满足匹配。
  • 将 1 加入 original，减少 2 的频率为0。
• x = 2，频率为0，跳过。
• x = 3，检查 6，频率满足匹配。
  • 将 3 加入 original，减少 6 的频率为0。
• x = 4，检查 8，频率满足匹配。
  • 将 4 加入 original，减少 8 的频率为0。
• x = 6 和 8 频率均为0，跳过。

1. 最终 original = [1,3,4]

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其他补充

• 对于 0 的特殊处理，是本题的关键细节，因为 0 的双倍仍是 0，只能成对出现，否则不符合双倍数组规则。
• 题目中没有要求原数组的顺序，所以返回的数组顺序不影响正确性。
• 如果想获得所有可能的原数组，需要更复杂的回溯算法，但本题只需返回一种即可。

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总结

这道题通过计数和排序来匹配元素及其双倍，是典型的哈希表应用。合理处理特殊元素和边界条件，是确保算法正确的关键。掌握这类问题对理解数组配对、频率统计和排序有重要帮助。