傅里叶级数分解问题

题目

问题 1. 在区间 $$[-l,l]$$ 上分解为完整傅里叶级数：
(a) $$e^{zx}$$，其中 $$z\in \mathbb{C}$$；找出 $$z$$ 的“例外”值；
(b) $$\cos (\omega x)$$，$$\sin (\omega x)$$，其中 $$0<\omega \in \mathbb{R}$$；找出 $$\omega$$ 的“例外”值；
© $$\cosh (\eta x)$$，$$\sinh (\eta x)$$，其中 $$0<\eta \in \mathbb{R}$$。

解答

完整傅里叶级数在区间 $$[-l,l]$$ 上的形式为：
$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$$
其中系数为：
$$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx,a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx(n\ge 1),b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx(n\ge 1).$$
“例外”值是指使系数公式分母为零或级数不收敛的值。

(a) $$e^{zx}$$，其中 $$z\in \mathbb{C}$$

函数的完整傅里叶级数为：
$$e^{zx}\sim \frac{\sinh (zl)}{zl}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{2zl(-1{)}^n\sinh (zl)}{(lz{)}^2+(n\pi {)}^2}\cos \frac{n\pi x}{l}-\frac{2n\pi (-1{)}^n\sinh (zl)}{(lz{)}^2+(n\pi {)}^2}\sin \frac{n\pi x}{l}\right].$$
例外值： $$z=\pm i\frac{k\pi }{l}$$，其中 $$k=1,2,3,\dots$$。
在这些值下，分母 $$(lz{)}^2+(n\pi {)}^2=0$$ 当 $$n=k$$，导致系数公式未定义（需直接计算积分）。

(b) $$\cos (\omega x)$$ 和 $$\sin (\omega x)$$，其中 $$0<\omega \in \mathbb{R}$$

• 对于 $$\cos (\omega x)$$（偶函数）：
  $$\cos (\omega x)\sim \frac{\sin (\omega l)}{\omega l}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2\omega l(-1{)}^n\sin (\omega l)}{(\omega l{)}^2-(n\pi {)}^2}\cos \frac{n\pi x}{l}.$$
• 对于 $$\sin (\omega x)$$（奇函数）：
  $$\sin (\omega x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n\pi (-1{)}^n\sin (\omega l)}{(\omega l{)}^2-(n\pi {)}^2}\sin \frac{n\pi x}{l}.$$
  例外值： $$\omega =\frac{k\pi }{l}$$，其中 $$k=1,2,3,\dots$$。
  在这些值下，分母 $$(\omega l{)}^2-(n\pi {)}^2=0$$ 当 $$n=k$$，导致系数公式未定义（函数退化为傅里叶基函数）。

© $$\cosh (\eta x)$$ 和 $$\sinh (\eta x)$$，其中 $$0<\eta \in \mathbb{R}$$

• 对于 $$\cosh (\eta x)$$（偶函数）：
  $$\cosh (\eta x)\sim \frac{\sinh (\eta l)}{\eta l}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2\eta l(-1{)}^n\sinh (\eta l)}{(\eta l{)}^2+(n\pi {)}^2}\cos \frac{n\pi x}{l}.$$
• 对于 $$\sinh (\eta x)$$（奇函数）：
  $$\sinh (\eta x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }\left(-\frac{2n\pi (-1{)}^n\sinh (\eta l)}{(\eta l{)}^2+(n\pi {)}^2}\right)\sin \frac{n\pi x}{l}.$$
  无例外值： 分母 $$(\eta l{)}^2+(n\pi {)}^2>0$$ 对所有 $$n\ge 1$$ 和 $$\eta >0$$ 成立。

最终答案

$$
\boxed{
\begin{array}{c}
\text{ } \
\text{问题 1. 在区间 } [-l, l] \text{ 上分解为完整傅里叶级数：} \
\
\text{(a) } \
e^{zx} \sim \
\dfrac{\sinh(zl)}{zl} + \
\sum_{n=1}^{\infty} \
\left[ \
\quad \dfrac{ \
\quad 2zl \
\quad (-1)^{n} \
\quad \sinh(zl) \
}{ \
\quad (lz)^{2} + \
\quad (n\pi)^{2} \
} \
\cos \
\dfrac{ \
\quad n\pi \
\quad x \
}{ \
l \
} \
\quad - \
\quad \dfrac{ \
\quad 2n\pi \
\quad (-1)^{n} \
\quad \sinh(zl) \
}{ \
\quad (lz)^{2} + \
\quad (n\pi)^{2} \
} \
\sin \
\dfrac{ \
\quad n\pi \
\quad x \
}{ \
l \
} \
\right] \
\
\text{例外值：} \
z = \
\pm i \
\dfrac{ \
k\pi \
}{ \
l \
} \
\quad \
(k=1,2,3,\ldots) \
\
\text{(b) } \
\cos(\omega x) \sim \
\dfrac{ \
\sin(\omega l) \
}{ \
\omega l \
} \

• \
  \sum_{n=1}^{\infty} \
  \dfrac{ \
  \quad 2\omega l \
  \quad (-1)^{n} \
  \quad \sin(\omega l) \
  }{ \
  \quad (\omega l)^{2} \
  \quad - \
  \quad (n\pi)^{2} \
  } \
  \cos \
  \dfrac{ \
  \quad n\pi \
  \quad x \
  }{ \
  l \
  } \
  \
  \sin(\omega x) \sim \
  \sum_{n=1}^{\infty} \
  \dfrac{ \
  \quad 2n\pi \
  \quad (-1)^{n} \
  \quad \sin(\omega l) \
  }{ \
  \quad (\omega l)^{2} \
  \quad - \
  \quad (n\pi)^{2} \
  } \
  \sin \
  \dfrac{ \
  \quad n\pi \
  \quad x \
  }{ \
  l \
  } \
  \
  \text{例外值：} \
  \omega = \
  \dfrac{ \
  k\pi \
  }{ \
  l \
  } \
  \quad \
  (k=1,2,3,\ldots) \
  \
  \text{© } \
  \cosh(\eta x) \sim \
  \dfrac{ \
  \sinh(\eta l) \
  }{ \
  \eta l \
  } \
• \
  \sum_{n=1}^{\infty} \
  \dfrac{ \
  \quad 2\eta l \
  \quad (-1)^{n} \
  \quad \sinh(\eta l) \
  }{ \
  \quad (\eta l)^{2} \
  \quad + \
  \quad (n\pi)^{2} \
  } \
  \cos \
  \dfrac{ \
  \quad n\pi \
  \quad x \
  }{ \
  l \
  } \
  \
  \sinh(\eta x) \sim \
  \sum_{n=1}^{\infty} \
  \left( \
  \quad - \
  \quad \dfrac{ \
  \quad 2n\pi \
  \quad (-1)^{n} \
  \quad \sinh(\eta l) \
  }{ \
  \quad (\eta l)^{2} \
  \quad + \
  \quad (n\pi)^{2} \
  } \
  \right) \
  \sin \
  \dfrac{ \
  \quad n\pi \
  \quad x \
  }{ \
  l \
  } \
  \
  \text{无例外值} \
  \end{array}
  }
  $$