动态时间规整（Dynamic Time Warping，DTW）补充案例

DTW的边界条件是确保累积距离矩阵计算“有起点、有规则”的基础，它规定了矩阵中第一行和第一列的累积距离如何计算（因为这两行/列是路径的“起点边缘”，没有“上一步”的全部选择）。下面结合具体场景和例子展开说明：

为什么需要边界条件？

累积距离矩阵 ( D[i][j] ) 的核心递归公式是：
[ D[i][j] = \text{dist}[i][j] + \min\left( D[i-1][j],\ D[i][j-1],\ D[i-1][j-1] \right) ]
这个公式的前提是：( i>0 ) 且 ( j>0 )（即非第一行、非第一列），此时“上一步”可以从左、上、左上三个方向选择。

但对于第一行（( i=0 )，( j>0 )）和第一列（( j=0 )，( i>0 )），情况不同：

• 第一行的元素（如 ( D[0][1] )、( D[0][2] )）：对应的是序列X的第一个元素（( x_0 )）与序列Y的第j个元素（( y_j )）对齐。由于 ( i=0 ) 是X的起点，无法再“向上”移动（没有 ( i-1 = -1 ) 这个位置），所以上一步只能从左边来（即 ( D[0][j-1] )）。
• 第一列的元素（如 ( D[1][0] )、( D[2][0] )）：对应的是序列X的第i个元素（( x_i )）与序列Y的第一个元素（( y_0 )）对齐。由于 ( j=0 ) 是Y的起点，无法再“向左”移动（没有 ( j-1 = -1 ) 这个位置），所以上一步只能从上面来（即 ( D[i-1][0] )）。

边界条件就是专门为这两种情况制定的计算规则。

具体的边界条件规则

假设序列X长度为n（索引0到n-1），序列Y长度为m（索引0到m-1），距离矩阵为 ( \text{dist}[i][j] = |x_i - y_j| )。

1. 起点：( D[0][0] )

累积距离矩阵的起点是 ( D[0][0] )，它表示X的第一个元素（( x_0 )）与Y的第一个元素（( y_0 )）对齐时的累积距离。由于这是路径的“第一步”，没有上一步，因此：
[ D[0][0] = \text{dist}[0][0] ]

2. 第一行（( i=0 )，( j>0 )）

第一行的元素对应“X的第一个元素 ( x_0 ) 与Y的第j个元素 ( y_j ) 对齐”。由于X的索引固定为0（不能再向上移动，即 ( i-1 = -1 ) 不存在），路径只能从左边（( j-1 )）过来。因此，累积距离等于“当前点的距离 + 左边点的累积距离”：
[ D[0][j] = \text{dist}[0][j] + D[0][j-1] ]

举例：
若X = [1,3,5]（( x_0=1 )，( x_1=3 )，( x_2=5 )），Y = [2,4,6]（( y_0=2 )，( y_1=4 )，( y_2=6 )）：

• 计算 ( D[0][0] )：( \text{dist}[0][0] = |1-2| = 1 ) → ( D[0][0] = 1 )。
• 计算 ( D[0][1] )（( i=0, j=1 )）：( \text{dist}[0][1] = |1-4| = 3 )，左边 ( D[0][0] = 1 ) → ( D[0][1] = 3 + 1 = 4 )。
• 计算 ( D[0][2] )（( i=0, j=2 )）：( \text{dist}[0][2] = |1-6| = 5 )，左边 ( D[0][1] = 4 ) → ( D[0][2] = 5 + 4 = 9 )。

3. 第一列（( j=0 )，( i>0 )）

第一列的元素对应“X的第i个元素 ( x_i ) 与Y的第一个元素 ( y_0 ) 对齐”。由于Y的索引固定为0（不能再向左移动，即 ( j-1 = -1 ) 不存在），路径只能从上面（( i-1 )）过来。因此，累积距离等于“当前点的距离 + 上面点的累积距离”：
[ D[i][0] = \text{dist}[i][0] + D[i-1][0] ]

接上面的例子：

• 计算 ( D[1][0] )（( i=1, j=0 )）：( \text{dist}[1][0] = |3-2| = 1 )，上面 ( D[0][0] = 1 ) → ( D[1][0] = 1 + 1 = 2 )。
• 计算 ( D[2][0] )（( i=2, j=0 )）：( \text{dist}[2][0] = |5-2| = 3 )，上面 ( D[1][0] = 2 ) → ( D[2][0] = 3 + 2 = 5 )。

如图所示，一共有三种情况，实际是对应了三种不同的序列对应关系。[i,j-1], [i-1,j]这种说明还要继续一对多。[i-1][j-1]这种说明要开始新的一对一关系。

边界条件的直观意义

第一行和第一列的计算规则本质是强制路径从起点（0,0）开始，沿着序列的边缘“逐步扩展”，避免了“无中生有”的距离计算。

• 第一行：X的第一个元素“拉伸”对齐Y的前j个元素（允许一对多对齐），例如X的“1”可以同时对齐Y的“2”“4”“6”（虽然实际中这种对齐可能距离很大，但规则上是允许的）。
• 第一列：Y的第一个元素“拉伸”对齐X的前i个元素（同样允许一对多对齐），例如Y的“2”可以同时对齐X的“1”“3”“5”。

总结

边界条件是DTW累积距离矩阵的“奠基规则”：

• 起点 ( D[0][0] ) 是路径的初始值；
• 第一行和第一列通过“只能从左/上移动”的约束，确保路径从起点开始“向右/向上”逐步扩展，为后续递归计算（非边缘元素）提供了基础。

理解了边界条件，就能更清晰地推导整个累积距离矩阵的计算过程，进而理解DTW如何通过动态规划找到最优对齐路径。