集训DAY7之线性dp与前缀优化/stl优化

集训DAY7之线性DP与前缀优化/STL优化

目录

DP的概念与思想核心

DP的题目类型

线性DP详解

DP的优化策略

后记

DP的概念与思想核心

DP的定义

DP也就是 动态规划(Dynamic Programming) 是求解决策过程最优化的过程
动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题

DP的基本思想

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中我们常常需要在多个可行解中寻找最优解，其基本思想就是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解，其实从这些说法你是否看出，它与分治有异曲同工之妙。通过保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。

DP的优势

本身优势

动态规划通过将问题分解为重叠子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，显著提高了效率，以至于动态规划将时间复杂度从指数级降为多项式级，这主要是由于动态规划本质是一种空间换时间的策略
只有经过比较才能有优势接下来我们将DP与分治还有暴力进行对比

相较于分治法

分治法虽然也将问题分解为子问题，但子问题通常独立且无重叠，这导致大量重复计算，从而TLE等，分治会在复杂问题达到指数级

相较于暴力法

暴力法就不用多解释了，暴力法枚举所有可能解，适用于问题规模极小的情况。但对于复杂问题（如背包问题或最短路径），其时间复杂度可能达到阶乘或指数级，实际中无法应用。

DP的局限性

动态规划（Dynamic Programming, DP）虽然是一种强大的算法设计方法，但在实际应用中存在一些局限性。以下是与其他算法相比，动态规划的主要缺点：

问题必须具有最优子结构

动态规划要求问题可以分解为相互重叠的子问题，且子问题的最优解能组合成原问题的最优解。如果问题不具备这种性质（例如某些非优化问题或子问题相互独立的情况），动态规划无法直接应用。

状态空间爆炸

动态规划的性能高度依赖状态空间的大小。如果问题涉及多个维度或高复杂度参数，状态数量可能呈指数级增长（例如背包问题中物品数量和容量较大时），导致计算和存储成本过高。

难以设计状态转移方程

某些问题的状态转移关系复杂，难以用明确的数学表达式描述。相比之下，贪心算法或启发式方法可能更直观，尽管不一定得到全局最优解。

存储开销大

动态规划通常需要存储大量中间状态（如二维表格），可能占用过多内存。相比之下，分治法或回溯法可能通过递归或剪枝减少存储需求。

DP的题目类型

额我在想这个栏目的时候思考了一下因为DP的题目类型……实属有点多这边列举点吧
线性DP,背包DP,区间DP,树形DP,状态压缩DP,数位DP,概率/期望DP
由于太多了下面先详解线性DP吧

线性DP详解

线性 DP 是动态规划中最基础、最常见的一类问题，其核心特点是状态的转移具有线性顺序（通常按照数组下标、序列顺序等一维或二维的线性结构进行递推）。它广泛应用于解决与序列、区间、路径等相关的优化问题，如最长递增子序列、编辑距离、背包问题等。

一、线性DP的核心思想

1. 状态定义：将问题拆解为若干个子问题，用dp[i]（一维）或dp[i][j]（二维）表示第i个（或第i到j个）元素对应的子问题的最优解。
2. 状态转移方程：根据子问题之间的关系，推导出dp[i]如何由前面的dp[0...i-1]（或其他相关状态）计算得到。
3. 边界条件：初始化最小子问题的解（如dp[0]的取值）。
4. 线性递推：按照从左到右、从小到大的线性顺序依次计算每个状态，确保计算当前状态时，所需的前置状态已被求解。

二、一维线性DP

一维线性DP的状态仅依赖于一个维度（如序列的位置），典型问题包括最长递增子序列、爬楼梯等。

1. 爬楼梯问题

• 问题：每次可爬1或2阶台阶，求爬到第n阶的总方法数。
• 状态定义：dp[i]表示爬到第i阶的方法数。
• 转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]（最后一步爬1阶或2阶）。
• 边界条件：dp[1] = 1，dp[2] = 2。

2. 最长递增子序列（LIS）

• 问题：在无序数组中，找到最长的严格递增子序列的长度（子序列可不连续）。
• 状态定义：dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列长度。
• 转移方程：
  对于所有j < i且nums[j] < nums[i]，dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
• 边界条件：dp[i] = 1（每个元素自身是长度为1的子序列）。
• 示例：
  数组[10,9,2,5,3,7]，dp数组计算过程为：
  dp[0]=1，dp[1]=1，dp[2]=1，dp[3]=2（2→5），dp[4]=2（2→3），dp[5]=3（2→3→7），最终LIS长度为3。

三、二维线性DP

二维线性DP的状态依赖于两个维度（如两个序列的位置、区间的左右端点），典型问题包括最长公共子序列、编辑距离、区间DP等。

1. 最长公共子序列（LCS）

• 问题：给定两个字符串，求最长公共子序列的长度（子序列可不连续）。
• 状态定义：dp[i][j]表示字符串s1[0..i-1]与s2[0..j-1]的LCS长度。
• 转移方程：
  • 若s1[i-1] == s2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1（当前字符加入LCS）。
  • 否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])（取删除一个字符后的最优解）。
• 边界条件：dp[0][j] = 0，dp[i][0] = 0（空字符串的LCS为0）。

2. 编辑距离（Levenshtein距离）

• 问题：将字符串s转换为t的最少操作数（操作包括插入、删除、替换一个字符）。
• 状态定义：dp[i][j]表示s[0..i-1]转换为t[0..j-1]的最少操作数。
• 转移方程：
  • 若s[i-1] == t[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]（无需操作）。
  • 否则，dp[i][j] = 1 + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1])（分别对应删除、插入、替换）。
• 边界条件：dp[i][0] = i（删除s的i个字符），dp[0][j] = j（插入j个字符到s）。

3. 区间DP：最长回文子序列

• 问题：求字符串中最长回文子序列的长度（子序列可不连续）。
• 状态定义：dp[i][j]表示区间s[i..j]中最长回文子序列的长度。
• 转移方程：
  • 若s[i] == s[j]，则dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2（两端字符加入回文）。
  • 否则，dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])（取去掉一端后的最优解）。
• 边界条件：dp[i][i] = 1（单个字符是回文），i > j时dp[i][j] = 0。
• 计算顺序：区间长度从小到大（先算长度1，再算长度2，直到整个字符串）。

四、线性DP的优化技巧

1. 空间优化：
   若状态dp[i]仅依赖于dp[i-1]和dp[i-2]（如爬楼梯），可使用变量替代数组，将空间复杂度从O(n)降至O(1)。

2. 时间优化：
   例如LIS问题，朴素解法时间复杂度为O(n2)，可通过二分查找优化为O(n log n)（维护一个贪心序列，记录当前长度下的最小尾元素）。

3. 滚动数组：
   二维DP中，若dp[i][j]仅依赖于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]（如LCS），可使用一维数组滚动更新，空间复杂度从O(nm)降至O(min(n,m))。

五、线性DP的应用场景总结

问题类型	典型例子	状态维度	核心思路
单序列优化	最长递增子序列、打家劫舍	一维	依赖前序元素的最优解
双序列匹配	LCS、编辑距离	二维	对比两个序列的字符匹配关系
区间优化	最长回文子序列、矩阵链乘	二维	按区间长度递增顺序递推
路径计数/最值	不同路径、最小路径和	二维	累加或取min/max路径上的状态

DP优化策略

1. 空间优化：滚动数组、变量替代（状态压缩至常数空间）
2. 时间优化：
   • 单调队列/栈优化（处理区间最值依赖）
   • 前缀和/差分优化（快速计算区间和）
   • 矩阵快速幂优化（线性递推关系）
   • 斜率优化（处理线性方程形式的转移）
   • 决策单调性优化（转移决策具有单调性）
   • 状态压缩（针对集合类问题，用位运算表示状态）
3. 其他：维度削减（合并或删除冗余状态维度）

这边详解前缀优化与STL优化

详解前缀优化与STL优化

前缀优化与STL优化：结合实例的详细解析

在动态规划及算法问题中，前缀优化和STL优化是提升效率的重要手段。它们并非孤立存在，而是常与具体场景结合，通过简化计算或利用高效数据结构，让复杂问题的解决变得更轻松。

一、前缀优化：用预处理换取高效查询

前缀优化的核心是“预计算”，通过提前处理数组的前缀信息，将原本需要遍历区间的操作转化为直接查表，尤其适合涉及区间和、区间最值的场景。

1. 前缀和：快速计算区间总和
当需要频繁查询数组中某段连续元素的和时，前缀和是最直接的优化方式。比如在“子数组最大和”“分割数组为k个连续子数组”等问题中，直接遍历计算每个区间的和会导致O(n2)的时间复杂度，而用前缀和预处理后，每次查询只需O(1)。
例如，对于数组[1,3,5,7,9]，其前缀和数组为[0,1,4,9,16,25]，查询区间[1,3]（即元素3、5、7）的和时，只需计算prefix[4] - prefix[1] = 16 - 1 = 15，无需再逐个累加。
关键代码示例：

vector<int> prefix(n + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    prefix[i] = prefix[i - 1] + arr[i - 1]; // 累加前i个元素
}
int sum = prefix[r + 1] - prefix[l]; // 区间[l, r]的和（0-based）

2. 前缀最值：记录区间内的最大/最小值
在一些需要对比“截至当前位置的最大/最小值”的问题中，前缀最值数组能派上用场。比如“股票买卖”问题中，若想知道某天之前的最低股价，无需每次回溯查找，直接通过前缀最小值数组即可获取。
例如，数组[5,3,6,2,7]的前缀最小值数组为[5,3,3,2,2]，查询第3天（0-based索引2）之前的最低股价，直接取prefix_min[2] = 3即可。
关键代码示例：

vector<int> prefix_min(n);
prefix_min[0] = arr[0];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
    prefix_min[i] = min(prefix_min[i - 1], arr[i]); // 记录前i个元素的最小值
}

二、STL优化：借助高效数据结构简化逻辑

C++的STL（标准模板库）封装了多种高效数据结构，能帮我们避开复杂的底层实现，直接利用其特性优化代码效率，尤其适合动态维护集合、快速查询或排序的场景。

1. map/unordered_map：快速映射与查找
当需要存储“键-值”对并快速查询时，这两种容器是首选。map基于红黑树实现，内部元素有序，查询复杂度O(logn)；unordered_map基于哈希表，查询平均复杂度O(1)，适合对速度要求更高的场景。
比如在“两数之和”问题中，用unordered_map存储已遍历的元素及其索引，遍历到目标元素时，可直接查询是否存在互补的元素，无需嵌套循环。
关键代码示例：

unordered_map<int, int> num_map; // 存储元素值与索引的映射
for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
    int target = 9 - nums[i];
    if (num_map.count(target)) { // 查找是否存在互补元素
        return {num_map[target], i};
    }
    num_map[nums[i]] = i; // 存入当前元素
}

2. set/multiset：动态维护有序集合
这两种容器能自动对元素排序，且支持动态插入、删除和查找。set存储唯一元素，multiset允许重复元素，适合需要“实时维护有序序列”的场景。
例如，在“数据流中的中位数”问题中，用两个multiset分别存储较小的一半和较大的一半元素，通过调整元素分布，可快速获取中位数。
关键代码示例：

multiset<int> small, large; // small存储较小一半（最大堆逻辑），large存储较大一半（最小堆逻辑）
// 插入元素时维持平衡
if (small.empty() || num <= *small.rbegin()) {
    small.insert(num);
} else {
    large.insert(num);
}
// 调整大小，确保small比large多1个或相等
if (small.size() > large.size() + 1) {
    int val = *small.rbegin();
    small.erase(small.find(val));
    large.insert(val);
}

3. 二分查找函数：有序数组中的精准定位
STL的lower_bound和upper_bound函数基于二分查找实现，能在有序数组中快速定位元素位置，复杂度O(logn)。在“最长递增子序列”等问题中，用它们替代遍历查找，可将时间复杂度从O(n2)降至O(n logn)。
例如，在有序数组中查找第一个大于等于x的元素：

vector<int> arr = {2, 4, 6, 8};
int x = 5;
auto it = lower_bound(arr.begin(), arr.end(), x); // 指向6（第一个>=5的元素）
int pos = it - arr.begin(); // 位置为2

总结

前缀优化通过“空间换时间”，用预处理数组简化区间查询；STL优化则借助封装好的数据结构，减少手动实现复杂逻辑的成本。实际解题中，两者常结合使用——比如先用前缀和处理区间和，再用map存储中间结果，从而高效解决问题。掌握这些技巧，能让代码更简洁、运行更快，尤其在处理大规模数据时效果显著。

典型应用场景对比：

优化策略	适用问题	时间复杂度优化	核心数据结构
前缀和	区间和查询	O(n)预处理 + O(1)查询	一维/二维数组
前缀最值	区间最值查询	O(n)预处理 + O(1)查询	一维数组
map/unordered_map	快速查找历史状态	O(logn)/O(1)查询	哈希表/红黑树
set/multiset	动态维护有序集合	O(logn)插入/删除/查询	红黑树
priority_queue	贪心策略优化	O(logn)插入/删除	堆
二分查找	有序数组快速定位	O(logn)查询	有序数组

后记

漆黑的夜唯有你我漫步于代码天空之下，坚持前行方能抵达银河