文献分享: 注释数据库＆溯源半环理论(Part2)

原文

$\text{3. }$处理递归查询: 基于$\text{Datalog}$

$\text{3.1. }$关于$\text{Datalog}$

$\text{3.1.1. }$$\text{Datalog}$基本结构

1️⃣事实$\text{(Fact)}$

1. 事实：数据库中现存的数据(即具体的一行元组），写作关系名('常量1', '常量2', ...)
   • 推导事实：即不存在于数据库当中，但是可以从现有事实按照规则推导出来
2. 补充：存放事实的数据库叫外延数据库，存放推导事实的叫内涵数据库

2️⃣规则$\text{(Rule)}$

1. 含义：从事实(现存于数据库中的$/$从已知事实推导而来的)中，推导出新事实的逻辑
2. 结构：Head:-Body或Head:-atom1,atom2,...
   • Head是想要输出的结果，如EmpDept(Name, DeptName)
   • atom是查询条件，相邻atom有相同变量可实现join，如E(Eid,Name,Did),D(Did,Dpt)

3️⃣谓词$\text{(Predicates)}$

1. 含义：就是关系名，如EmpDept(Name, DeptName)中的EmpDept
2. 种类：按照是否作为数据库中的数据源
   • $\text{EDB}$谓词：从不出现在任何规则的head部分的谓词，充当纯粹的数据源
   • $\text{IDB}$谓词：至少在一条规则的head部分出现过，代表了被推导而出的规则

$\text{3.1.2. }\text{Datalog}$的两种查询

1️⃣非递归：合取查询$\text{(ConjunctiveQuery)}$

1. 自然连接：若$A$表中有$n$列分别和$B$表中的$n$列同名，则当两表中这$n$列都相同时才进行连接
   $\begin{array}{ccc}\text{Eid}& \text{Name}& \text{Did}\\ 1& \text{张三}& 101\\ 2& \text{李四}& 102\\ 3& \text{王五}& 104\end{array}\bowtie \begin{array}{cc}\text{Did}& \text{Dpt}\\ 101& \text{市场部}\\ 102& \text{技术部}\end{array}\to \begin{array}{cccc}\text{Did}& \text{Eid}& \text{Name}& \text{Dpt}\\ 101& 1& \text{张三}& \text{市场部}\\ 102& 2& \text{李四}& \text{技术部}\end{array}$
2. 合取查询结构：Head:-Body或Head:-atom1,atom2,...即同时满足若干原子条件时，输出结果
3. 合取查询示例：合取查询除了囊括了自然连接，还可以隐式地进行选择和投影

   操作	合取查询
   同自然连接	R(Eid,Name,Did,Dpt):-E(Eid,Name,Did),D(Did,Dpt)
   对结果投影	R(Name):-E(Eid,Name,Did),D(Did,Dpt)
   对原子选择	R(Eid,Name,Did,Dpt):-E(Eid,Name,Did),D(Did,Dpt),Did>100
   更复杂($\theta$)连接	R(Eid,Name,Did,Dpt):-E(Eid,Name,Did),D(Did,Dpt),Eid

   • 对于head只能进行投影操作，而对body中的每个atom只能进行选择操作(当然还包括连接)
   • 对结果不进行任何投影的叫完全合取查询，对结果投影去除某些列的即为非完全合取查询

2️⃣递归查询：对合取查询的深化

1. 基本思想：允许头部定义的谓词再次出现在规则的体部，示例如下‘

   Anc(x,y):-Dad(x,y).
   %一个合取查询,如果x是y的父母，那么x就是y的祖先
      
   Anc(x,y):-Dad(x,z),Anc(z,y).
   %开始递归,body部分出现了head中定义的谓词，即如果x是z父母及z是y祖先，则x也是y祖先  
   

2. 递归计算：迭代与不动点，以免陷入死循环

   轮次	输入	操作(应用什么规则)	Anc表
   $0$	$\text{N/A}$	$\text{N/A}$	Anc-0(空)
   $1$	Anc-0	基础Anc(x,y):-Dad(x,y)	Anc-1(新增父子关系)
   $2$	Anc-1	递归Anc(x,y):-Dad(x,y),Anc-1(x,y)	Anc-2(新增祖父子关系)
   $3$	Anc-2	递归Anc(x,y):-Dad(x,y),Anc-2(x,y)	Anc-3(新增曾祖父子关系)

   • 迭代终止：一直到Anc表内不再新增元素时迭代结束，此时的Anc表叫做不动点

$\text{3.1.3. }\text{Datalog}$的两种等价语义

1️⃣证明论语义：从结论倒推证明过程

1. 推导树：根是等待被证明的结论，叶子是基础事实$\text{EDB}$，中间结构反应了按照规则推导的过程

   规则: Grandparent('A','C') :- Parent('A','B'), Parent('B','C')
   
   推导:  Grandparent('A','C')            <-- 结论(根)
              /           \
       Parent('A','B')  Parent('B','C')  <-- 证据集合(叶子)
            (证据1)         (证据2)
   

   • 整体而言，一颗推导树代表了从基础事实(叶节点)，推导到最终结论(根节点)的全部过程
2. 推导：推导树中自上而下的过程
   • 开始：从根节点处的给定事实$R(A_1,A_n)$出发
   • 倒推：反向应用规则，直到所有分支都归结为基础事实(叶节点)为止
3. 语义：事实$R(A_1,A_n)$成立，当且仅当至少存在一颗$A_1$到$A_n$的推导树

2️⃣不动点语义：从起点试图推导到结论

1. 要素：外延数据库$\text{EDB}$(基础事实)，内涵数据库$\text{IDB}$(导出事实)，立即后果算子$T_P$(每部的推导)
2. 推导：给定基础事实$\text{EDB}$，${\text{IDB}}_{k+1}={\text{IDB}}_k\cup T_P(\text{EDB}\cup {\text{IDB}}_k)$
   • 开始：推导事实集初始为空，即${\text{IDB}}_0=\varnothing$
   • 一轮：输入所有已知的事实的可达点，即${\text{IDB}}_1=T_P(\text{EDB})$
   • 二轮：上轮结果$+$(上轮结果$\cup$基础点)的可达点，即${\text{IDB}}_2={\text{IDB}}_1\cup T_P(\text{EDB}\cup {\text{IDB}}_1)$
   • 三轮：上轮结果$+$(上轮结果$\cup$基础点)的可达点，即${\text{IDB}}_3={\text{IDB}}_2\cup T_P(\text{EDB}\cup {\text{IDB}}_2)$
   • $n$轮：一直迭代到${\text{IDB}}_{k+1}={\text{IDB}}_k$，输出最终收敛的${\text{IDB}}_k$，即最小不动点
3. 语义：从基础事实出发，不断地利用规则推导，得到所有可能推导出的事实

$\text{3.2. }\mathbf{K}\text{-}$关系上的$\text{Datalog}$

$\text{3.2.1. }\text{Datalog}$的证明论半环语义

1️⃣$\omega \text{-}$连续半环是什么：具备完备性和连续性的半环

0. 前置分析：为何要$\omega \text{-}$连续半环$\to$能处理无穷推导，并能囊括包语义
   • 无穷推导：当$\text{Datalog}$出现递归时，可能会产生无穷推导，进而结果的注释值等于无穷$\notin K$
   • 封闭半环：可以处理无限和，但加法必须是幂等的(如$a\oplus a=a$)，这与包语义的如$1+1=2$冲突
1. 前置概念：考虑半环$(K,\oplus ,\otimes ,0,1)$，以及$a_1,a_2,...\in K$
   • 序的定义：对于$a_1,a_2\in K$，$a_1\le a_2$等价于存在$x\in K$使$a_1\oplus x=a_2$
   • $\omega \text{-}$链是啥：由序关系$\le$链接的无限序列$⟨a_0,a_1,...⟩$，即满足$a_0\le a_1\le ...$的链
2. $\omega \text{-}$完备性：保证半环$(K,\oplus ,\otimes ,0,1)$上无限递归的过程，也有一个确定的(包括$\infty$)结果
   • 完备：半环$K$是完备的，即任意$\omega \text{-}$链$⟨a_0,a_1,...⟩$都有一最小上界$a_{\text{sup}}\in K$，即$\underset{i\to \infty }{\lim }{a}_i=a_{\text{sup}}$
   • 反例：包$(\mathbb{N},+,\times ,0,1)$中自然数$\mathbb{N}$不具备完备性，如构造$\omega \text{-}$链$⟨0,1,2,...⟩$不可能存在上界
   • 转化：对于那些没有上界的的$\omega \text{-}$链，强行让$\infty \in K$于是$\infty$就是其最小上界
3. $\omega \text{-}$连续性：可将$\otimes$分配到无限求和中$a\otimes \left(\sum _{i=0}^{\infty }{b}_i\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\left(a\otimes b_i\right)$，即分配律在处理无穷和时仍有效
4. 示例：几个主要的$\omega \text{-}$连续半环

   半环类型	$(\mathbf{K},\oplus ,\otimes ,0,1)$	为何是$\mathbf{\omega }\text{-}$连续
   布尔	$(B,\vee ,\wedge ,\text{false},\text{true})$	$\text{false}\le \text{true}$就是所有的$\omega \text{-}$链，必有上界
   布尔式	$(\text{PosB}(B),\vee ,\wedge ,\text{false},\text{true})$	假定布尔变量$B$有限，$\text{PosB}(B)$也有限(有上界)
   包	$({\mathbb{N}}^{\infty },+,\times ,0,1)$	$\mathbb{N}$本身是不完备的，但是如上所说强行加入了$\infty$
   热带	$({\mathbb{N}}^{\infty },\min ,+,\infty ,0)$	同上，此外这个环描述的其实是最短路径优化
   幂集	$(P(\Omega ),\cup ,\cap ,\varnothing ,\Omega )$	若事件空间$\Omega$有限，其幂集$P(\Omega )$也有限(有上界)
   模糊	$([0,1],\max ,\min ,0,1)$	$[0,1]$必定有最小上界$1$，该环可用来描述可能性

2️⃣$\text{Datalog}$的证明论半环语义： q ( R ) ( t ) = ∑ τ  yields  t ( ∏ t ′ ∈  leaves  ( τ ) R ( t ′ ) ) \displaystyle{}q(R)(t){=}\sum_{\tau\text { yields } t}\left(\prod_{t^{\prime}{\in}\text { leaves }(\tau)} R\left(t^{\prime}\right)\right) q(R)(t)=τ yields t∑​ ​t′∈ leaves (τ)∏​R(t′) ​

1. 含义：在$\omega \text{-}$连续半环上，求一个输出元组$t$的注释值时，遵循以下步骤
   • 第一步：先找出所有能推导出$t$的语法树，记录每个推导树的所有叶子节点的注释值
   • 第二步：求每个推导树的叶节点注释值的积，再将所有语法树的积相加，极为$t$的注释值
2. 非递归：在环$({\mathbb{N}}^{\infty },+,\times ,0,1)$上，非递归规则$Q(x,y)\text{:-}R(x,z),R(z,y)$，即$Q=R\bowtie R$
   $\begin{array}{ccc}\text{x}& \text{z}& \text{Anno.}\\ a& a& 2\\ a& b& 3\\ b& b& 4\end{array}\bowtie \begin{array}{ccc}\text{z}& \text{y}& \text{Anno.}\\ a& a& 2\\ a& b& 3\\ b& b& 4\end{array}=\begin{array}{ccl}\text{x}& \text{y}& \text{Anno.}\\ a& a& 2\times 2\\ a& b& 2\times 3+3\times 4\\ b& b& 4\times 4\end{array}$
   • 考虑$Q(a,b)\text{:-}R(a,a),R(a,b)$所代表的推导树，$R(a,a),R(a,b)$注释之积为$2\times 3$
   • 考虑$Q(a,b)\text{:-}R(a,b),R(b,b)$所代表的推导树，$R(a,b),R(b,b)$注释之积为$3\times 4$
3. 递归：在环$({\mathbb{N}}^{\infty },+,\times ,0,1)$上，递归规则$\{\begin{array}{l}Q(x,y)\text{:-}R(x,y)\\ Q(x,y)\text{:-}Q(x,z),Q(z,y)\end{array}$，即$Q=R^n$(自$\text{Join}$无数次)
   $\begin{array}{ccc}\text{x}& \text{z}& \text{Anno.}\\ a& a& 2\\ a& b& 3\\ b& b& 4\end{array}\bowtie \begin{array}{ccc}\text{z}& \text{y}& \text{Anno.}\\ a& a& 2\\ a& b& 3\\ b& b& 4\end{array}\bowtie ...=\begin{array}{ccc}\text{x}& \text{y}& \text{Anno.}\\ a& a& \infty \\ a& b& \infty \\ b& b& \infty \end{array}$
   • $Q(a,b)$利用规则$Q(x,y)\text{:-}Q(x,z),Q(z,y)$，得到推导树倒数第二层节点

     Q(a,b)                      | Q(a,b)
     Q(a,a),Q(a,b)               | Q(a,b),Q(b,b)
     Q(a,a),Q(a,a),Q(a,b)        | Q(a,b),Q(b,b),Q(b,b)
     Q(a,a),Q(a,a),Q(a,a),Q(a,b) | Q(a,b),Q(b,b),Q(b,b),Q(b,b)
     ........                    | ........
     

   • 再利用规则$Q(x,y)\text{:-}R(x,y)$，得到推导树的叶子节点

     R(a,b)                      | R(a,b)
     R(a,a),R(a,b)               | R(a,b),R(b,b)
     R(a,a),R(a,a),R(a,b)        | R(a,b),R(b,b),R(b,b)
     R(a,a),R(a,a),R(a,a),R(a,b) | R(a,b),R(b,b),R(b,b),R(b,b)
     ........                    | ........
     

   • 合并每个推导树叶节点注释的累积，结果必定是$\infty$，然而这在$\omega \text{-}$连续半环中是合法的结果

3️⃣$\text{Datalog}$的证明论半环语义的性质

1. 合理性保证：对一个行数有限的数据库$R$，进行$\text{Datalog}$查询的结果$q(R)$的行数也有限
2. 非递归等价性：对于$K\text{-}$关系上的查询，以下两者得到的计算结果相同
   • ${\mathcal{R}\mathcal{A}}^{+}$视角：视查询为$\text{Join/Union}$等算子构成的算式，用关系代数半环语义计算注释值
   • $\text{Datalog}$视角：将查询视作若干非递归的$\text{Datalog}$规则，用$\text{Datalog}$半环语义计算注释值
3. 语义一致性：以下两种方式查询结果一致
   • 本文$\text{Datalog}$语义：用布尔半环注释数据库，用$\text{Datalog}$半环语义计算注释，保留为$\text{true}$者
   • 传统$\text{Datalog}$语义：普通的$\text{Datalog}$的执行所得到的元组

4️⃣$\text{Datalog}$的证明论半环语义的局限

1. 局限：虽然这种半环语义是良定义的，但执行层面不可能枚举无限种可能的推导树
2. 解决：引入完全等价的不动点语义，将$\text{Datalog}$规则翻译成代数方程，自底向上求解不动点

$\text{3.2.2. }\text{Datalog}$的不动点论半环语义

1️⃣将$\text{Datalog}$的逻辑规则转化为方程组(代数系统)

1. 已知量$\&$未知数分配：已知量即基础事实$R$中所有的注释值，未知量即求解结果$Q$的所有注释值
2. 依据$\text{Datalog}$规则建立方程：在环$({\mathbb{N}}^{\infty },+,\times ,0,1)$上，考虑规则$\{\begin{array}{l}Q(x,y)\text{:-}R(x,y)\\ Q(x,y)\text{:-}Q(x,z),Q(z,y)\end{array}$
   $R=\begin{array}{ccc}a& b& m\\ a& c& n\\ c& b& p\\ b& d& r\\ d& d& s\end{array}和Q=\begin{array}{ccc}a& b& \text{x}\\ a& c& \text{y}\\ c& b& \text{z}\\ b& d& \text{u}\\ d& d& \text{v}\\ a& d& \text{w}\end{array}\{\begin{array}{l}\mathbf{x}=m+\mathbf{yz}\\ \mathbf{y}=n\\ \mathbf{z}=p\\ \mathbf{u}=r+\mathbf{uv}\\ \mathbf{v}=s+{\mathbf{v}}^2\\ \mathbf{w}=\mathbf{xu}+\mathbf{wv}\end{array}$
   • 考虑$Q(x,y)\text{:-}R(x,y)$：则$Q(a,b)$可由$R(a,b)$生成，于是$\mathbf{x}=m+\cdots$
   • 考虑$Q(x,y)\text{:-}Q(x,z),Q(z,y)$：则$Q(a,b)$可由$Q(a,c)$和$Q(c,b)$生成，于是$\mathbf{x}=m+\mathbf{yz}$

2️⃣方程的求解：不动点迭代法

1. 初始化：$(\text{x},\text{y},\text{z},\text{u},\text{v},\text{w})=(0,0,0,0,0,0)$
2. 第一轮：$(\text{x},\text{y},\text{z},\text{u},\text{v},\text{w})=(0,0,0,0,0,0)$带入右边$\to$左边$(\text{x},\text{y},\text{z},\text{u},\text{v},\text{w})=(m,n,p,r,s,0)$
3. 第二轮：$(\text{x},\text{y},\text{z},\text{u},\text{v},\text{w})=(m,n,p,r,s,0)$带入右边$\to$左边$(\text{x},\text{y},\text{z},\text{u},\text{v},\text{w})=(m+np,n,...)$
4. 第$n$轮：不断用方程组迭代，至$(\text{x},\text{y},\text{z},\text{u},\text{v},\text{w})$不变(即为不动点)，结果如下
   $Q=\begin{array}{ccl}a& b& m+np\\ a& c& n\\ c& b& p\\ b& d& r(1+v+v^2+\cdots )\\ d& d& s+s^2+2s^3+5s^4+\cdots \\ a& d& r(m+np)(1+v+v^2+\cdots {)}^2\end{array}\underset{克林闭包}{\overset{v^{\ast }=1+v+v^2+\cdots }{}}Q=\begin{array}{ccl}a& b& m+np\\ a& c& n\\ c& b& p\\ b& d& r{v}^{\ast }\\ d& d& s+s^2+2s^3+5s^4+\cdots \\ a& d& r(m+np)(v^{\ast }{)}^2\end{array}$

3️⃣对不动点语义的分析

1. 语义等价性：由$\text{Datalog}$两种语义(证明论和不动点)得到的查询结果是完全等价的
2. 迭代的保证：在$\omega \text{-}$连续半环上，为何不动点迭代法是有效的
   • 单调性：由于是正关系代数，方程中只有加乘，故每轮不动点迭代都递增(如${\text{x}}_1\le {\text{x}}_2\le {\text{x}}_3...$)
   • 完备性：保证了变量在不动点迭代过程中，即使不断递增但还是会有一个最小上界(最小不动点)
   • 连续性：应用克林(克林闭包的克林)不动点定理的关键，即迭代停止处就是索要的最小不动点
3. 解的含义：以一个半环的视角，以$Q(a,b)$的注释$m+np$为例
   • 包半环：$m/n/p$来自$a\to b/a\to c/c\to b$的路径数，$np$积则为$a\to c\to b$的路径数
   • 溯源半环：$m$表示$Q(a,b)$一部分直接来自$R(a,b)$，$np$表示另一部分来自$R(a,c)\bowtie R(c,b)$
4. 关于无穷大：良性与恶性的递归

   递归	含义	解结构
   线性	左边只以一次方出现在右边，如$\mathbf{u}=r+\mathbf{uv}$	链式结构，解呈几何级数
   非线性	左边以更高次方出现在右边，如$\mathbf{v}=s+{\mathbf{v}}^2$	组合结构 (如二叉树)，解呈复杂级数

4️⃣$\text{Datalog}$上的因子分解定理

1. 内容：$q\left(h\left(R\right)\right)=h\left(q\left(R\right)\right)$
   • 要素：$R$为原始数据库(注释为溯源多项式)，$h$为同态函数(翻译多项式)，$q$为$\text{Datalog}$查询
   • 含义：先翻译注释再查询即$q\left(h\left(R\right)\right)$，等价于先查询再翻译查询结果注释即$h\left(q\left(R\right)\right)$
2. 意义：一种通用性的宣言，即溯源半环上的$\text{Datalog}$查询是一种通用模型

$\text{3.3. }$从溯源多项式$\text{→}$溯源正式幂级数

$\text{3.3.1. }$为何溯源多项式不够

1️⃣无限系数情形：考虑单位循环递归(一种特殊的线性递归)

1. 示例：考虑单位规则循环$\{\begin{array}{l}Q(x,y)\text{:-}R(x,y)\\ R(x,y)\text{:-}Q(x,y)\end{array}$，$Q(a,b)$推导树如下

   Q(a, b) <- R(a, b)
   Q(a, b) <- R(a, b) <- Q(a, b) <- R(a, b)
   Q(a, b) <- R(a, b) <- Q(a, b) <- R(a, b) <- Q(a, b) <- R(a, b)
   ......
   

2. 特点：有无穷多颗推导树，每颗推导树的叶节点的积都一样，也就是$\infty \times N$结构(系数为无穷)
3. 局限：对于多项式的一项，其系数并不能无限

2️⃣无限项数情形：线性或非线性递归

1. 示例：之前讨论的例子中解得的$\text{v}=s+s^2+2s^3+5s^4+\cdots$及$\text{u}=r(1+v+v^2+\cdots )$
2. 局限：多项式并不允许表示无限多个项，除非用级数

$\text{3.3.2. }$形式幂级数半环

1️⃣$\text{Datalog}$溯源半环

1. 是啥：将溯源多项式半环$(\mathbb{N}[X],+,\times ,0,1)$的$\mathbb{N}[X]$换成${\mathbb{N}}^{\infty }[[X]]$

   结构	含义
   $X$	数据库中每个元组的$\text{ID}$，在溯源数据库中就是元组的注释，记录参与贡献的元组
   $[[]]$	表示可以放入无穷多的项，区别于多项式的$[]$只能放入有限多的项
   ${\mathbb{N}}^{\infty }$	对自然数的扩展，认为无穷也是一种自然数，一起可以作为每一项的系数

2. 性质：任然是一个$\omega \text{-}$连续半环，故不动点求解任然适用

2️⃣${\mathbb{N}}^{\infty }[[X]]$的理论保证

1. 向下兼容：形式幂级数囊括了多项式，在$\mathbb{N}[X]$上执行与按同样方式在${\mathbb{N}}^{\infty }[[X]]$上执行结果一样
2. 因子分解：和溯源多项式半环上的$\text{Datalog}$因子分解一样，$q\left(h\left(R\right)\right)=h\left(q\left(R\right)\right)$
   • 要素：$R$为原始数据库(注释为溯源形式幂级数)，$h$为同态函数(翻译幂级数)，$q$为$\text{Datalog}$查询
   • 保证：一定存在至少一个$h$，可将溯源形式幂级数，翻译成其它注释值(如布尔$/$数目等)
   • 含义：先翻译注释再查询即$q\left(h\left(R\right)\right)$，等价于先查询再翻译查询结果注释即$h\left(q\left(R\right)\right)$
3. 可分析性：只有一种情况溯源形式幂级数才会出现无穷系数，即单位规则循环
   • 所谓单位：Body只有一个atom，例如P:-Q
   • 所谓循环：即所有规则最后会成为一个环，如下三个例子

     R1 :- R2  |  R1 :- R2  |  R1 :- R2
     R2 :- R1  |  R2 :- R3  |  R2 :- R3
                  R3 :- R1  |  R3 :- R2
                            |  R2 :- R1
     

$\text{4. }$溯源级数计算与应用

$\text{4.1. }$溯源级数计算

1️⃣$\text{All-Trees}$算法：通过让推导树自底向上构建实现的不动点计算，并判断溯源是否无限

1. 初始：构建两个数据结构

   结构	作用	初始化输入什么
   白名单$T$	存放当前已知的有限推导树	所有已知元组(只有一节的推导树)
   黑名单$T^{\infty }$	存放已经确定的拥有无限推导树的元组	空

2. 迭代：自底向上的搭建

   输入对象	操作	如果某元组匹配成功…
   $T$中所有树的根	匹配$\text{Datalog}$规则	原有推导树的根找到其父节点，再向上生长一层
   $T^{\infty }$中所有元组	匹配$\text{Datalog}$规则	原有元组就能无限推导，其父节点也必定可以无限推导

   • 二者迭代的结果，共同构成待筛选的推导树集(即使由$T^{\infty }$迭代出来的仅两层的推导树必被简剪枝)
3. 审查：对所有待筛选的推导树，自顶向下的检查

   检查对象	什么情况下推导树不能过审	解释
   根直接子节点	某树至少有一个根的直接子节点在$T^{\infty }$中	子节点可无穷推导，父节点也可
   每一层节点	在任意深度发现了与根节点一致的元组	构成循环，自身不断导出自身

   • 更新：将过审的推导树加入$T$，不能过审的推导树的根节点加入到$T^{\infty }$中
4. 停止：当$T/T^{\infty }$的成员都不变化时
   • 输出：计算出元组的溯源多项式

     条件	元组的溯源结果(多项式)
     元组在$T^{\infty }$中	$\infty$
     元组为$T$中树的根	找到所有以该元组为根的推导树，计算每棵树叶子累乘，再将累乘累加

   • 补充：对于在$T^{\infty }$中的元组，检测其溯源结果的无穷是哪一种

     无穷类型	环路的种类
     无穷多的项	元组对应推导树必定有环路，而且环路包含非单位规则(如a:-b,c及c:-a)
     无穷的系数	元组对应推导树必定有环路，而且环路全为单位规则(如a:b及b:-a)

2️⃣$\text{M-C}$算法：深入某无限推导的元组$t$，弄清其特定的单项式$\mu$对注释值贡献了多少次(系数)

1. 前置：用元组$\text{-}$单项式对$(t,\mu )$描述一类推导树
   • 结构：$\mu$是一个单项式，为推导树的叶节点的累乘，这些叶节点最终可导出$t$
   • 种类：按照$\mu$所代表的叶节点组合，有多少种方法可以推导出元组$t$

     类型	特点	备注
     普通$(t,\mu )$	$\mu$的叶节点组合，仅有有限种方法导出$t$	$t$的注释中，$\mu$项系数有限
     无穷$(t^{\prime },{\mu }^{\prime })$	$\mu ’$的叶节点组合，可有无限种方法导出$t^{\prime }$	$t^{\prime }$的注释中，$\mu ’$项系数为$\infty$

   • 补充：上章讨论过，只有出现单位规则循环时，幂级数才会有无穷系数，即才会有无穷$(t^{\prime },{\mu }^{\prime })$
2. 初始：对某可无穷推导元组的溯源幂级数，输入其中目标单项式$\mu$，构建两个数据结构

   结构	存放内容	初始化输入什么
   白名单$T$	自底向上生长，有潜力得到$\mu$的推导树的集合	$\mu$的组成，如$\mu =r{s}^2$则$T=\{r,s\}$
   黑名单$P^{\infty }$	目前已经发现的无穷元组$\text{-}$单项式对$(t^{\prime },{\mu }^{\prime })$	空

3. 迭代：与$\text{All-Trees}$类似
   • 生成：让$T$中所有推导树根节点匹配$\text{Datalog}$规则向上生长，可能引入不存在于$\mu$中的叶节点

     情形	匹配的规则时…
     不引入新叶节点	规则的所有atom仅需$T$中推导树的根节点
     需引入新叶节点	规则有的atom需要$T$中推导树的根节点外的结点

   • 剪枝：处理引入的不存在于$\mu$中的叶节点，以及过度引入的$\mu$中的叶节点

     情形	剪枝条件	示例
     无中生有	推导树叶节点中有$\mu$不包含的元素	当$\mu =r{s}^2$时，推导树叶节点含$p$
     种类越界	推导树叶节点中某元素数量超过$\mu$中的	当$\mu =r{s}^2$时，推导树叶节点含三个$s$

4. 检测：哪些元组的注释具有无穷系数

   检测方式	对于某推导树$({\mathbf{t}}_0,{\mathbf{\mu }}_0)$	对${\mathbf{P}}^{\infty }$操作
   继承检测	若其有某颗子树为$(t^{\prime },{\mu }^{\prime })\in P^{\infty }$	将$(t_0,{\mu }_0)$塞入
   环路检测	若其从根结点$t_0$往下也有$t_0$(成环)	将$(t_0,{\mu }_0)$塞入

5. 终止：由于搜索空间被$\mu$严格限制算法必有限步终止，输出系数$C$($t$的注释中项$\mu$的系数)

   情形	返回$\mathbf{C}$的值
   目标$(t,\mu )$不在$P^{\infty }$中	$C=T$中所有符合$(t,\mu )$的推导树的总数
   目标$(t,\mu )$在$P^{\infty }$中	$C=\infty$

$\text{4.2. }$要点的补充(从这开始放水了，都是些啥啊)

$\text{4.2.1. }$对$\text{All-Tree}$的再思考

1️⃣$\text{All-Trees}$算法对几种具体语义的处理

1. 对包语义：天然可处理包语义，因为包的注释是自然数，对自然数进行无穷运算后得到的就是无穷
2. 对其它语义：存在一定偏差，本质上源于幂等性
   • 对于布尔半环：由于布尔值$x\vee x=x$，所以对布尔值的无穷运算还是布尔值，并不能用无穷表示
   • 对于幂集半环：由于事件$A\cup A=A$，所以对事件的无穷运算还是事件，并不能用无穷表示

2️⃣$\text{All-Trees}$算法的修改：使之能处理具有幂等性的语义

1. 核心修改：重新定义新的推导树，考虑一类推导树$(t,\mu )$
   • 修改前：根$t$相同且叶累积$\mu$相同但内部结构(推导路径)不同，则视作新的推导树
   • 修改后：根$t$相同且叶累积$\mu$相同则视作一类；仅$\mu$更小(如$xy$小于$xyz$)才视作新(更好)的推导树
2. 为何有效：吸收律$a+a\times b=a$的体现
   • 去除冗余：选择尽可能小的$\mu$以去除冗余信息，比如$xy$就能导出$t$，那还要$xyz$的推导树干啥

$\text{4.2.2. }$查询包含

1️⃣分配格是什么

1. 格：即$(L,\oplus ,\otimes )$的代数系统，满足交换律$/$结合律，以及吸收率$\{\begin{array}{l}a\oplus (a\otimes b)=a\\ a\otimes (a\oplus b)=a\end{array}$
2. 分配格：在格的基础上，还满足分配律$\{\begin{array}{l}a\oplus (b\otimes c)=(a\oplus b)\otimes (a\oplus c)\\ a\otimes (b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)\end{array}$

2️⃣关于查询包含

1. 定义：$K\text{-}$半环语义下查询$q_1$被$q_2$包含(记作$q_1{⊑}_K{q}_2$)$\iff$数据库$R$中任意元组$t$有$q_1(R)(t)\le q_2(R)(t)$
2. 示例：布尔半环中$\text{false}\le \text{true}$，包中$\le$就表示自然数的小于等于
3. 性质：若$K\text{-}$半环是一个分配格，查询是合区查询并集(多个$\text{CQ}$取$\text{or}$)，则$q_1{⊑}_K{q}_2$和$q_1{⊑}_{\mathbb{B}}{q}_2$等价