力扣第 70 题：爬楼梯问题（Climbing Stairs）

力扣第 70 题：爬楼梯问题（Climbing Stairs）

一、题目描述

假设你正在爬楼梯，需要爬到第 $n$ 级台阶。每次可以爬 $1$ 或 $2$ 级台阶。有多少种不同的方法可以爬到楼顶？

输入：一个正整数 $n$。
输出：一个整数，表示不同的方法数。

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二、解题思路

这个问题可以用 递归 + 记忆化 的方式解决，本质是一个 动态规划问题。

1. 状态定义

定义 $dp[i]$ 表示爬到第 $i$ 级台阶的方法数。

2. 状态转移方程

每次可以选择爬 $1$ 级或 $2$ 级台阶，因此可以得到递推关系：
$$dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]$$

3. 初始条件

• 当 $i=1$ 时，只有一种方法爬到第一级：直接爬 $1$ 级。因此，$dp[1]=1$。
• 当 $i=2$ 时，有两种方法爬到第二级：爬 $1+1$ 或直接爬 $2$。因此，$dp[2]=2$。

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三、递归 + 记忆化实现

我们通过递归来解决这个问题，同时使用一个数组 memo 来存储已经计算过的结果，避免重复计算。

完整代码（C 语言）

#include 
#include 

// 递归函数，使用记忆化存储
int dfs(int n, int* memo) {
    if (n == 0) {
        return 1; // 到达楼顶的方法数
    } else if (n < 0) {
        return 0; // 无效路径
    }
    if (memo[n] != -1) {
        return memo[n]; // 如果已经计算过，直接返回
    }
    // 递归计算
    memo[n] = dfs(n - 1, memo) + dfs(n - 2, memo);
    return memo[n];
}

// 主函数
int climbStairs(int n) {
    // 动态分配 memo 数组，并初始化为 -1
    int* memo = (int*)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        memo[i] = -1;
    }

    // 调用递归函数
    int result = dfs(n, memo);

    // 释放动态内存
    free(memo);

    return result;
}

int main() {
    int n;
    printf("请输入楼梯的级数：");
    scanf("%d", &n);

    int result = climbStairs(n);
    printf("共有 %d 种不同的方法可以爬到第 %d 级台阶。\n", result, n);

    return 0;
}

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四、代码详解

1. dfs 函数

递归函数负责计算从当前台阶爬到楼顶的方法数：

• 边界条件：
  • 当 $n=0$ 时，返回 $1$，表示当前路径有效。
  • 当 $n<0$ 时，返回 $0$，表示当前路径无效。
• 记忆化查询：
  • 如果 memo[n] != -1，直接返回存储的值。
• 递归公式：
  • $dfs(n)=dfs(n-1)+dfs(n-2)$

2. memo 的作用

memo 数组存储每一级台阶的方法数，避免了重复递归，提高了效率。

3. 主函数逻辑

• 初始化 memo 数组为 -1。
• 调用递归函数 dfs(n, memo)。
• 释放 memo 动态内存，避免内存泄漏。

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五、运行示例

输入：

请输入楼梯的级数：5

输出：

共有 8 种不同的方法可以爬到第 5 级台阶。

运行结果符合预期。

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六、时间复杂度和空间复杂度分析

时间复杂度

使用记忆化递归，时间复杂度为 $O(n)$，因为每一级台阶的方法数只会被计算一次。

空间复杂度

• 递归调用栈的深度为 $O(n)$。
• memo 数组需要 $O(n)$ 的空间存储结果。

总的空间复杂度为 $O(n)$。

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七、总结

通过递归结合记忆化存储，成功解决了爬楼梯问题。代码清晰、结构简单，并具有以下优点：

1. 避免了重复计算，性能优于纯递归。
2. 逻辑清晰，容易理解。

如果对递归不熟悉，也可以通过 迭代法 或 动态规划表 实现，进一步优化空间复杂度。有关更多动态规划问题，欢迎继续关注！