取余和取模到底是不是一回事？对比Python、Java、C和C++中的%运算符

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数学中的「取余」和「取模」

在纯数学中，当我们谈论整数除法 $a÷b$ （ $a$ 是被除数， $b$ 是除数，且 $b\ne 0$） ，结果包含一个商（quotient） $q$ 和一个余数（remainder） $r$，它们满足以下的关系：
$$a=b\times q+r$$
并且 $r$ 满足 $0\le |r|<|b|$ . 也就是说，余数的绝对值小于除数的绝对值，并且通常要求余数是非负的，即 $0\le r<|b|$ .

在这个定义下，「取余」和「取模」是等同的，目的都是求「满足上述等式的非负余数 $r$」.

计算机领域中的「取余」和「取模」

在计算机领域中，取余运算（Remainder Operation）和取模运算（Modulo Operation）并不完全相同。

由于历史原因和不同语言的设计选择，取余和取模在处理负数时会出现差异，通常，取余的结果符号同被除数，取模的结果总是非负的。而当 $a$ 和 $b$ 都是正数时，所有编程语言和计算器对 a % b 或 a mod b 的结果都是一致的，结果等于上述数学定义中的非负余数。

C、C++、Java、JavaScript、Go等采取取余运算；
Python、Ruby等采取取模运算；
而在某些语言中，取余和取模都有，比如Matlab、Julia。

下面对比一下 % 运算符在Python、Java、C和C++中的区别。

Python、Java、C和C++中的 % 运算符

Python：取模运算

先上代码示例，右边为输出结果：

print(10 % 3)   # 1
print(-10 % 3)  # 2
print(10 % -3)  # -2
print(-10 % -3) # -1

Python的运算方式为：a % b = a - b * floor(a / b)，其中 floor() 向下取整。
因此上面的代码示例是这样计算的：

10 % 3 = 10 - 3 * floor(10 / 3)  =  10 - 3 * 3 = 1
-10 % 3 = -10 - 3 * floor(-10 / 3)  = -10 - 3 * (-4) = 2
10 % -3 = 10 - (-3) * floor(10 / -3)  = 10 - (-3) * (-4) = -2
-10 % -3 = -10 - (-3) * floor(-10 / -3)  = -10 - (-3) * 3 = -1

结果符号与除数相同。

前面我们说到，通常，取余的结果符号同被除数，取模的结果总是非负的，但这里也有负值，这是为什么？原因是一般情况下，我们总是使用正除数，这一点会在文章最后加以简单说明。

Java：取余运算

代码示例：

System.out.println(10 % 3);   // 1
System.out.println(-10 % 3);  // -1
System.out.println(10 % -3);  // 1
System.out.println(-10 % -3); // -1

Java的运算方式为：a % b = a - b * trunc(a / b)，其中 trunc() 向零取整。
因此上面的代码示例是这样计算的：

10 % 3 = 10 - 3 * trunc(10 / 3)  =  10 - 3 * 3 = 1
-10 % 3 = -10 - 3 * trunc(-10 / 3)  = -10 - 3 * (-3) = -1
10 % -3 = 10 - (-3) * trunc(10 / -3)  = 10 - (-3) * (-3) = 1
-10 % -3 = -10 - (-3) * trunc(-10 / -3)  = -10 - (-3) * 3 = -1

结果符号和被除数相同。

C和C++：取余运算

代码示例：

printf("%d\n", 10 % 3);  // 1
printf("%d\n", -10 % 3);  // -1
printf("%d\n", 10 % -3);  // 1
printf("%d\n", -10 % -3);  // -1

运算方式和Java一样，不再赘述。

早期C语言中，负数的 % 运算并未统一，未对 a/b 取整方向做强制规定，由编译器或底层硬件平台自行决定。C99/C++11及之后，统一规定 a/b 向零取整。

为什么一般用正除数

模运算的经典使用场景中，除数一般都是正数，比如数论的同余关系、时间计算、循环访问数组、密码学的一些处理等，除数的物理意义往往是周期、长度等，这些都是正数。

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