牛客题解 | 数组中的逆序对

题目

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#描述
这是一篇针对初学者的题解。讲述了如何从归并排序的思想到解决本题。
知识点：递归
难度：二星

#题解
题目描述：给定一个数组arr， 数组元素各不相同，求arr[i] > arr[j] 且 i < j的个数。

首先还是提出两个问题，带着问题来看题解，我觉得效率更好。
Q1：为什么归并排序需要额外的空间？
Q2：为什么此题的最优解法可以借助归并排序的思想？

##方法一：暴力方法
对于此题，按住一个arr[i], 依次判断{i+1 … n-1]是否满足条件。n为数组的大小。
代码如下：

class Solution {
private:
	const int kmod = 1000000007;
public:
    int InversePairs(vector data) {
        int ret = 0;
        int n = data.size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
        	for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        		if (data[i] > data[j]) {
        			ret += 1;
        			ret %= kmod;
        		}
        	}
        }

        return ret;
    }
};

对于10^{5数据，O(N}2)算法显然超时。
时间复杂度：O(N^2)
空间复杂度：O(1)

##方法二：归并排序思想
A1： 首先回答一下第一个问题，为什么归并排序需要额外空间？
显然我们知道，归并排序的过程就是，递归划分整个区间为基本相等的左右区间，之间左右区间各只有一个数字，然后就合并两个有序区间。
问题就出在了合并两个有序区间上，需要额外的空间。
为什么呢？
这里我举个例子，比如需要合并的两个有序区间为[3 4] 和 [1 2]
我们需要得到最后的结果为[1 2 3 4]， 如果不需要额外的空间的话，是做不到的，
当比较1 和 3 的时候， 1 比 3 小，就会覆盖原来的位置。

A2：回答第二个问题之前，先了解一下归并排序的过程，主要有以下两个操作：

• 递归划分整个区间为基本相等的左右两个区间
• 合并两个有序区间

可能看了代码，更好理解：

// 合并过程
void merge__(vector &arr, int l, int mid, int r) {
    // 在这个地方创建额外空间，是一种不好的做法，更好的做法，等下讲
	vector tmp(r - l + 1);
	int i = l, j = mid + 1, k = 0;

	while (i <= mid && j <= r) {
		if (arr[i] >= arr[j]) {
			tmp[k++] = arr[j++];
		}
		else {
			tmp[k++] = arr[i++];
		}
	}

	while (i <= mid) {
		tmp[k++] = arr[i++];
	}
	while (j <= r) {
		tmp[k++] = arr[j++];
	}

	for (k = 0, i = l; i <= r; ++i, ++k) {
		arr[i] = tmp[k];
	}
}

// 递归划分过程
void merge_sort__(vector &arr, int l, int r) {
    // 只有一个数字，则停止划分
	if (l >= r) {
		return;
	}

	int mid = l + ((r - l) >> 1);
	merge_sort__(arr, l, mid);
	merge_sort__(arr, mid + 1, r);
    // 合并两个有序区间
	merge__(arr, l, mid, r);
}
// 要排序的数组 arr
void merge_sort(vector& arr) {
	merge_sort__(arr, 0, arr.size() - 1);
}

明白了归并排序的过程，那么回答问题2.
如果两个区间为[4, 3] 和[1, 2]
那么逆序数为(4,1),(4,2),(3,1),(3,2)，同样的如果区间变为有序，比如[3,4] 和 [1,2]的结果是一样的，也就是说区间有序和无序结果是一样的。
但是如果区间有序会有什么好处吗？当然，如果区间有序，比如[3,4] 和 [1,2]
如果3 > 1, 显然3后面的所有数都是大于1， 这里为 4 > 1, 明白其中的奥秘了吧。所以我们可以在合并的时候利用这个规则。

直接上代码：

class Solution {
private:
	const int kmod = 1000000007;
public:
    int InversePairs(vector data) {
        int ret = 0;
        merge_sort__(data, 0, data.size() - 1, ret);
        return ret;
    }


    void merge_sort__(vector &arr, int l, int r, int &ret) {
        if (l >= r) {
            return;
        }

        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        merge_sort__(arr, l, mid, ret);
        merge_sort__(arr, mid + 1, r, ret);
        merge__(arr, l, mid, r, ret);
    }

    void merge__(vector &arr, int l, int mid, int r, int &ret) {
        vector tmp(r - l + 1);
        int i = l, j = mid + 1, k = 0;

        while (i <= mid && j <= r) {
            if (arr[i] > arr[j]) {
                tmp[k++] = arr[j++];
                // 奥妙之处
                ret += (mid - i + 1);
                ret %= kmod;
            }
            else {
                tmp[k++] = arr[i++];
            }
        }

        while (i <= mid) {
            tmp[k++] = arr[i++];
        }
        while (j <= r) {
            tmp[k++] = arr[j++];
        }

        for (k = 0, i = l; i <= r; ++i, ++k) {
            arr[i] = tmp[k];
        }
    }
};

刚才提到在函数内部开辟额外空间的做法很不好。因为这样会涉及到频繁的构建 vector 和析构vector，所以比较好的做法是：直接在最外层开辟一个足够大的数组，然后传引用到函数。
代码如下：

class Solution {
private:
	const int kmod = 1000000007;
public:
    int InversePairs(vector data) {
        int ret = 0;
        // 在最外层开辟数组
        vector tmp(data.size());
        merge_sort__(data, tmp, 0, data.size() - 1, ret);
        return ret;
    }

    void merge_sort__(vector &arr, vector &tmp, int l, int r, int &ret) {
        if (l >= r) {
            return;
        }

        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        merge_sort__(arr, tmp, l, mid, ret);
        merge_sort__(arr, tmp, mid + 1, r, ret);
        merge__(arr, tmp, l, mid, r, ret);
    }

    void merge__(vector &arr, vector &tmp, int l, int mid, int r, int &ret) {
        int i = l, j = mid + 1, k = 0;

        while (i <= mid && j <= r) {
            if (arr[i] > arr[j]) {
                tmp[k++] = arr[j++];
                ret += (mid - i + 1);
                ret %= kmod;
            }
            else {
                tmp[k++] = arr[i++];
            }
        }

        while (i <= mid) {
            tmp[k++] = arr[i++];
        }
        while (j <= r) {
            tmp[k++] = arr[j++];
        }

        for (k = 0, i = l; i <= r; ++i, ++k) {
            arr[i] = tmp[k];
        }
    }
    
};

时间复杂度：O(NlogN)
空间复杂度：O(N)