【逻辑代数——布尔恒等式】

概要

本文介绍了布尔恒等式及其在逻辑代数中的应用。首先列举了20条布尔恒等式，包括与门和或门的基本性质、交换律、结合律、分配律和反演律等。接着通过多个例题展示了如何运用这些恒等式进行逻辑表达式的化简。例如，通过分配律、结合律和反演律等技巧，逐步简化复杂的逻辑表达式，最终得到简洁的结果。这些例题不仅验证了布尔恒等式的正确性，还展示了它们在逻辑电路设计中的实际应用价值。

一、布尔恒等式

1. A·0=0
2. A·1=1
3. AA=A（与门两个输入相同，则输出等于输入）
4. AA’=0（与门两个输入端反相，则输出为0）
5. A’’=A
6. 1’=0 —— 0’=1
7. A+1=1 —— A+0=A
8. A+A=A（或门两个输入端相同，则输出等于输入）
9. A+A’=1（或门两个输入端反相，则输出必为1）
10. 交换律AB=BA —— A+B=B+A
11. 结合律(AB)C=A(BC) —— (A+B)+C=A+(B+C)
12. 分配律A(B+C)=AB+AC
13. 反演律 (AB)’=A’+B’ —— (A+B)’=A’B’

14. A+(BC)=(A+B)(A+C)
证明：
(A+B)(A+C)
=AA+AB+AC+BC
=A+AB+AC+BC
=A(B+1)+AC+BC
=A+AC+BC
=A(C+1)+BC
=A+BC

15. A+AB=A
    证明：
    A(A+B)=A(B+1)=A

16. A(A+B)=A
    证明：
    A(A+B)=AA+AB=A+AB=A(B+1)=A

17. AB+AB’=A

18. (A+B)(A+B’)=A
    证明：
    (A+B)(A+B’)
    =AA+AB’+AB+BB’
    =A+AB’+AB
    =A+A(B+B’)
    =A+A
    =A

19. A(A’+B)=AB

20. A+A’B=A+B
    证明：
    A+A’B
    =A+AA’+A’B
    =A+A’(A+B)
    =(A+A’)(A+A+B) 参考公式14
    =A+A+B
    =A+B

二、简单例题解析

1. 运用逻辑代数运算法则化简Y=ABC+AB’C+AB’C’+ABC’
   Y=AB(C+C’)+AB’(C+C’)
   =AB+AB’
   =A

2. 运用逻辑代数运算法则化简Y=ABC+ABD+A’BC’+CD+BD’
   巧妙利用公式20. A+A’B=A+B与公式14. A+(BC)=(A+B)(A+C)
   Y=ABC+A’BC’+CD+B(D’+AD),其中B(D’+AD)=B(D’+A)(D’+D)=B(D’+A)=BD’+BA
   Y=ABC+A’BC’+CD+BD’+BA
   Y=ABC+CD+BD’+B(A’C’+A),其中B(A’C’+A)=B(A+A’)(A+C’)=B(A+C’)=BA+BC’
   Y=ABC+CD+BD’+BA+BC’
   =B(AC+C’)+CD+BD’+BA,其中B(AC+C’)=B(A+C’)(C+C’)=B(A+C’)=BA+BC’
   Y=BA+BC’+CD+BD’+BA,考虑到AB+AB=AB
   Y=AB+BC’+CD+BD’
   =AB+B(C’+D’)+CD
   =AB+B(CD)‘+CD
   =AB+(B+CD)((CD)’+CD),将CD与(CD)'视作整体
   =AB+B+CD
   =(A+1)B+CD，考虑到A+1=1
   =B+CD

3. 运用逻辑代数运算法则化简Y=(A+B’)C+A’B
   Y=(A’B)‘C+A’B
   =((A’B)’+A’B)(C+A’B)
   =C+A’B

4. 运用逻辑代数运算法则化简Y=AC’+A’B+BC’
   Y=AC’+A’B+BC’(A+A’)
   =ABC’+A’BC’+AC’+A’B
   =(ABC’+AC’)+A’BC’+A’B
   =AC’(B+1)+A’B(C’+1)
   =AC’+A’B

5. 运用逻辑代数运算法则化简Y=A’B’C+A’BC+ABC’+A’B’C’+ABC
   Y=(A’B’C+A’B’C’)+(ABC’+ABC)+A’BC
   =A’B’(C+C’)+AB(C+C’)+A’BC
   =A’B’+AB+A’BC
   =A’(B’+BC)+AB
   =A’(B’+B)(B’+C)+AB
   =A’B’+A’C+AB

6. 运用逻辑代数运算法则化简Y=AB’+BC’D+C’D’+ABC’+AC’D+ABC
   Y=AB(C+C’)+AB’+BC’D+C’D’+AC’D
   =AB+AB’+BC’D+C’D’+AC’D
   =A(B+B’)+BC’D+C’D’+AC’D
   =A+BC’D+C’D’+AC’D
   =A(1+C’D)+BC’D+C’D’
   =A+C’(D’+BD)
   =A+C’(D’+B)(D’+D)
   =A+C’D’+C’B
   =A+C’D’'+C’B

参考资料

【电工电子技术_逻辑表达式化简】https://www.bilibili.com/video/BV1BH4y1C7Mv?vd_source=2530ffd02d9c0529a10f9f95fa54a4ab