求解偏微分方程的Fourier展开式

解答：

(1) 求解的 Fourier 展开式

考虑边值问题：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left((\cos x+2)\frac{\partial u}{\partial x}\right)-\left(\sin \frac{\pi x}{l}\right)u,(x,t)\in (0,l)\times (0,T),$$
初始条件：
$$u(x,0)=\sin \frac{\pi x}{l},u_t(x,0)=0,0\le x\le l,$$
边界条件：
$$u(0,t)=u(l,t)=0,0\le t\le T.$$

该问题中的空间算子为：
$$\mathcal{L}u=\frac{\partial }{\partial x}\left((\cos x+2)\frac{\partial u}{\partial x}\right)-\sin \frac{\pi x}{l}u,$$
且方程可写为 $$u_{tt}=\mathcal{L}u$$。算子 $$\mathcal{L}$$ 是自伴算子，对应的 Sturm-Liouville 问题为：
$$-\frac{d}{dx}\left((\cos x+2)\frac{d\varphi }{dx}\right)+\sin \frac{\pi x}{l}\varphi =\lambda \varphi ,\varphi (0)=\varphi (l)=0.$$
该 Sturm-Liouville 问题的特征值 $${\lambda }_n>0$$（因为 $$p(x)=\cos x+2\ge 1>0$$，$$q(x)=\sin \frac{\pi x}{l}\ge 0$$，且边界条件为 Dirichlet 零边界），对应的特征函数为 $$\{{\varphi }_n(x){\}}_{n=1}^{\infty }$$，它们构成 $$L^2(0,l)$$ 空间中的正交基。

设解的形式为：
$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{T}_n(t){\varphi }_n(x).$$
代入方程得：
$$\sum _{n=1}^{\infty }{T}_n^{\prime \prime }(t){\varphi }_n(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{T}_n(t)\mathcal{L}{\varphi }_n(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\lambda }_n{T}_n(t){\varphi }_n(x),$$
因此对每个 $$n$$，有：
$$T_n^{\prime \prime }(t)={\lambda }_n{T}_n(t).$$
解此常微分方程，并考虑特征值 $${\lambda }_n>0$$，令 $${\omega }_n=\sqrt{{\lambda }_n}$$，则通解为：
$$T_n(t)=A_n\cosh ({\omega }_{n}t)+B_n\sinh ({\omega }_{n}t).$$
利用初始条件 $$u_t(x,0)=0$$：
$$u_t(x,0)=\sum _{n=1}^{\infty }{T}_n^{\prime }(0){\varphi }_n(x)=0,$$
其中：
$$T_n^{\prime }(t)={\omega }_n{A}_n\sinh ({\omega }_{n}t)+{\omega }_n{B}_n\cosh ({\omega }_{n}t),$$
代入 $$t=0$$：
$$T_n^{\prime }(0)={\omega }_n{B}_n=0⟹B_n=0.$$
故：
$$T_n(t)=A_n\cosh ({\omega }_{n}t).$$
利用初始条件 $$u(x,0)=\sin \frac{\pi x}{l}$$：
$$u(x,0)=\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n{\varphi }_n(x)=\sin \frac{\pi x}{l}.$$
因此，系数 $$A_n$$ 由投影给出：
$$A_n=\frac{⟨\sin \frac{\pi x}{l},{\varphi }_n⟩}{⟨{\varphi }_n,{\varphi }_n⟩}=\frac{{\int }_0^l\sin \frac{\pi x}{l}{\varphi }_n(x)dx}{{\int }_0^l{\varphi }_n^2(x)dx}.$$
解的 Fourier 展开式为：
$$\boxed{u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\cosh \left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right){\varphi }_n(x)}$$
其中 $${\lambda }_n$$ 和 $${\varphi }_n(x)$$ 是 Sturm-Liouville 问题
$$-\frac{d}{dx}\left((\cos x+2)\frac{d\varphi }{dx}\right)+\sin \frac{\pi x}{l}\varphi =\lambda \varphi ,\varphi (0)=\varphi (l)=0$$
的特征值和特征函数，且
$$A_n=\frac{{\int }_0^l\sin \frac{\pi x}{l}{\varphi }_n(x)dx}{{\int }_0^l{\varphi }_n^2(x)dx}.$$

(2) 证明 $$\mathcal{E}(t)$$ 与时间无关

定义：
$$\mathcal{E}(t)={\int }_0^l\left[(\cos x+2)(u_x{)}^2+\left(\sin \frac{\pi x}{l}\right)u^2+(u_t{)}^2\right]dx.$$
为证明 $$\mathcal{E}(t)$$ 与时间无关，需证 $$\frac{d\mathcal{E}}{dt}=0$$.

计算导数：
$$\frac{d\mathcal{E}}{dt}={\int }_0^l\frac{\partial }{\partial t}\left[(\cos x+2)(u_x{)}^2+\sin \frac{\pi x}{l}{u}^2+(u_t{)}^2\right]dx.$$
由于积分限与 $$t$$ 无关，且被积函数中的系数仅依赖于 $$x$$，有：
$$\frac{d\mathcal{E}}{dt}={\int }_0^l\left[2(\cos x+2)u_x\frac{\partial u_x}{\partial t}+2\sin \frac{\pi x}{l}u{u}_t+2u_t{u}_{tt}\right]dx.$$
由混合导数性质，$$\frac{\partial u_x}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}(u_t)$$，故：
$$\frac{d\mathcal{E}}{dt}=2{\int }_0^l\left[(\cos x+2)u_x(u_t{)}_x+\sin \frac{\pi x}{l}u{u}_t+u_t{u}_{tt}\right]dx.$$
利用原方程 $$u_{tt}=\frac{\partial }{\partial x}\left((\cos x+2)u_x\right)-\sin \frac{\pi x}{l}u$$，代入：
$$\frac{d\mathcal{E}}{dt}=2{\int }_0^l\left[(\cos x+2)u_x(u_t{)}_x+\sin \frac{\pi x}{l}u{u}_t+u_t\left(\frac{\partial }{\partial x}\left((\cos x+2)u_x\right)-\sin \frac{\pi x}{l}u\right)\right]dx.$$
简化：
$$\frac{d\mathcal{E}}{dt}=2{\int }_0^l\left[(\cos x+2)u_x(u_t{)}_x+u_t\frac{\partial }{\partial x}\left((\cos x+2)u_x\right)\right]dx,$$
因为 $$\sin \frac{\pi x}{l}u{u}_t-u_t\sin \frac{\pi x}{l}u=0$$。注意到：
$$(\cos x+2)u_x(u_t{)}_x+u_t\frac{\partial }{\partial x}\left((\cos x+2)u_x\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left[(\cos x+2)u_x{u}_t\right],$$
由乘积法则：
$$\frac{\partial }{\partial x}(AB)=A_{x}B+A{B}_x,A=(\cos x+2)u_x,B=u_t.$$
因此：
$$\frac{d\mathcal{E}}{dt}=2{\int }_0^l\frac{\partial }{\partial x}\left[(\cos x+2)u_x{u}_t\right]dx=2{\left[(\cos x+2)u_x{u}_t\right]}_{x=0}^{x=l}.$$
由边界条件 $$u(0,t)=u(l,t)=0$$ 对所有 $$t$$，有：
$$u_t(0,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(0,t)=0,u_t(l,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(l,t)=0,$$
因为 $$u$$ 在边界上恒为零。故：
$${\left[(\cos x+2)u_x{u}_t\right]}_{x=l}=0,{\left[(\cos x+2)u_x{u}_t\right]}_{x=0}=0.$$
因此：
$$\frac{d\mathcal{E}}{dt}=2(0-0)=0.$$
即 $$\mathcal{E}(t)$$ 与时间无关。

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{(1) }\\ u(x,t)={\sum }_{n=1}^{\infty }{A}_n\cosh \left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right){\varphi }_n(x)\\ \text{其中 }{\lambda }_n\text{ 和 }{\varphi }_n(x)\text{ 是 Sturm-Liouville 问题}\\ -\frac{d}{dx}\left((\cos x+2)\frac{d\varphi }{dx}\right)+\sin \frac{\pi x}{l}\varphi =\lambda \varphi ,\\ \varphi (0)=\varphi (l)=0\\ \text{的特征值和特征函数，}\\ A_n=\frac{{\int }_0^l\sin \frac{\pi x}{l}{\varphi }_n(x)dx}{{\int }_0^l{\varphi }_n^2(x)dx}\\ \\ \text{(2) }\mathcal{E}(t)\text{ 与时间无关}\end{array}}$$

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最终答案：
$$\boxed{\begin{array}{c}\text{(1) }\\ u(x,t)={\sum }_{n=1}^{\infty }{A}_n\cosh \left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right){\varphi }_n(x)\\ \text{其中 }{\lambda }_n\text{ 和 }{\varphi }_n(x)\text{ 是 Sturm-Liouville 问题}\\ -\frac{d}{dx}\left((\cos x+2)\frac{d\varphi }{dx}\right)+\sin \frac{\pi x}{l}\varphi =\lambda \varphi ,\\ \varphi (0)=\varphi (l)=0\\ \text{的特征值和特征函数，}\\ A_n=\frac{{\int }_0^l\sin \frac{\pi x}{l}{\varphi }_n(x)dx}{{\int }_0^l{\varphi }_n^2(x)dx}\\ \\ \text{(2) }\mathcal{E}(t)\text{ 与时间无关}\end{array}}$$