调和函数积分等式证明

题目

第一部分：证明积分等式

设 $$u$$ 在 $$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$$ 内调和，且 $$B(x_0,c)\subset \subset \Omega$$，满足 $$a\le b\le c$$ 和 $$b^2=ac$$。需证：
$${\int }_{|\omega |=1}u(x_0+a\omega )u(x_0+c\omega )d\omega ={\int }_{|\omega |=1}{u}^2(x_0+b\omega )d\omega .$$
为简化，平移坐标使 $$x_0=0$$，则需证：
$${\int }_{S^{n-1}}u(a\omega )u(c\omega )d\sigma (\omega )={\int }_{S^{n-1}}{u}^2(b\omega )d\sigma (\omega ),$$
其中 $$S^{n-1}$$ 是单位球面，$$d\sigma (\omega )$$ 是球面测度。

由于 $$u$$ 在 $$B(0,c)$$ 内调和，且在原点附近有界（因闭球紧包含于 $$\Omega$$），可将 $$u$$ 展开为球谐函数级数：
$$u(r\omega )=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=1}^{d_k}{a}_{k,j}{r}^k{Y}_{k,j}(\omega ),$$
其中 $$\{Y_{k,j}\}$$ 是 $$S^{n-1}$$ 上的标准正交基（$$d_k$$ 是第 $$k$$ 阶球谐函数的维数），满足：
$${\int }_{S^{n-1}}{Y}_{k,j}(\omega )Y_{m,l}(\omega )d\sigma (\omega )={\delta }_{km}{\delta }_{jl}.$$

计算左端积分：
$${\int }_{S^{n-1}}u(a\omega )u(c\omega )d\sigma (\omega )={\int }_{S^{n-1}}(\sum _{k,j}{a}_{k,j}{a}^k{Y}_{}$$