函数在球内恒为零的证明

设函数 $$u(x)$$ 在闭球 $$B(0,1)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x|\le 1\}$$ 内满足方程 $$\Delta u=\lambda u$$，其中 $$\lambda <0$$ 为常数，且在半径为 $$\delta$$ 的开球 $$B(0,\delta )=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x|<\delta \}$$ 内 $$u(x)\equiv 0$$，其中 $$0<\delta <1$$。需证明在 $$B(0,1)$$ 内 $$u\equiv 0$$。

证明：

假设 $$u$$ 在 $$B(0,1)$$ 内具有足够的光滑性（例如 $$C^2$$ 类），以保证拉普拉斯算子 $$\Delta u$$ 定义良好，且方程成立。

步骤 1：利用唯一延拓性质

由于 $$u$$ 在开球 $$B(0,\delta )$$ 内恒为零，且 $$u$$ 光滑，则 $$u$$ 及其所有导数在闭球 $$\overline{B(0,\delta )}$$ 上均为零。特别地，在球面 $$|x|=\delta$$ 上，有：

• $$u=0$$,
• $$\nabla u=0$$（包括法向导数 ∂ u ∂ n = 0 \frac{\partial u}{\partia