洛谷P1966 [NOIP 2013 提高组] 火柴排队

洛谷P1966 [NOIP 2013 提高组] 火柴排队

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题目背景

NOIP2013 提高组 D1T2

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 $n$ 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为：$ \sum (a_i-b_i)^2$。

其中 $a_i$ 表示第一列火柴中第 $i$ 个火柴的高度，$b_i$ 表示第二列火柴中第 $i$ 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 $10^8-3$ 取模的结果。

输入格式

共三行，第一行包含一个整数 $n$，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 $n$ 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 $n$ 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式

一个整数，表示最少交换次数对 $10^8-3$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
2 3 1 4
3 2 1 4

输出 #1

1

输入输出样例 #2

输入 #2

4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出 #2

2

说明/提示

输入输出样例说明一

最小距离是 $ 0$，最少需要交换 $1$ 次，比如：交换第 $1 $ 列的前 $ 2$ 根火柴或者交换第 $2$ 列的前 $2 $ 根火柴。

输入输出样例说明二

最小距离是 $10$，最少需要交换 $2$ 次，比如：交换第 $1$ 列的中间 $2$ 根火柴的位置，再交换第 $2$ 列中后 $2$ 根火柴的位置。

数据范围

对于 $10\%$ 的数据， $1\le n\le 10$；

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 100$；

对于 $60\%$ 的数据，$1\le n\le 10^3$；

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 10^5$，$0\le a_i,b_i<2^{31}$ 且对于任意 $1\le i<j\le n$，$a_i\ne a_j$，$b_i\ne b_j$。

思路详解

对应方式

我们先思考哪种排列方式的值最小。根据我们的目测，应该是将$a$，$b$数组排序后一一对应即可。想办法证明他：

1. 首先令$a_i>a_j,b_i>b_j,x=(a_i-b_i{)}^2+(a_j-b_j{)}^2,y=(a_i-b_j{)}^2+(a_j-b_i{)}^2$
2. 则$x-y=a_i^2+b_i^2-2a_i{b}_i+a_j^2+b_j^2-2a_j{b}_j-a_i^2-b_j^2+2a_i{b}_j-a_j^2-b_i^2+2a_j{b}_i$
   $=2a_j{b}_i-2a_j{b}_j+2a_i{b}_j-2a_i{b}_i=2a_j(b_i-b_j)-2a_i(b_i-b_j)=2(a_j-a_i)(b_i-b_j)<0$

所以综上顺序排列最优。

方法

首先肯定要排序，使用结构体记录原来编号。我们只有在进行排序时才可以统计相邻的交换次数。如何将这个问题转化为排序问题？？？显然交换$a,b$中都是一样的。考虑对于每个$a_i$，记其排序后对应的$b$的编号为$rei{d}_i$，由于$b$的编号为$[1,n]$，那我们只需要将$a$也排序即可。
如何求出交换次数？求出逆序对个数即可，这里采用树状数组求解即可。

code

#include
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=2e5+5,mod=1e8-3;
ll n;
struct node{//a,b数组
	ll x,id;
	friend bool operator<(node t1,node t2){
		return t1.x<t2.x;
	}
}a[N],b[N];
ll reid[N],q[N],c[N];//reid保存a中对应b中对应编号
ll lowbit(ll x){return (-x)&x;}
void add(ll x,ll y){for(;x<=n;x+=lowbit(x))c[x]+=y;}
ll sum(ll x){
	ll ans=0;
	for(;x;x-=lowbit(x))ans+=c[x];
	return ans;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].x;
		a[i].id=b[i].id=i;
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++)cin>>b[i].x;
	sort(a+1,a+1+n);
	sort(b+1,b+1+n);
//显然可得按大小一一对应最小
	for(ll i=1;i<=n;i++)reid[a[i].id]=b[i].id;//a对应编号
	for(ll i=1;i<=n;i++)q[i]=reid[i];//按顺序记录
	ll ans=0;
	for(ll i=n;i>=1;i--){
		ans=(ans+sum(q[i]-1))%mod;//树状数组求逆序对
		add(q[i],1);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}