智能交通信号灯

题目描述

蓝桥智慧城市在一条主干道上沿路安装了 $N$ 个智能交通信号灯，这些信号灯按位置从 $1$ 到 $N$ 编号。每个信号灯都有着一种控制模式，对于第 $i$ 个信号灯，其控制模式用 $A_i$ 表示，$A_i$ 是一个大于等于 $1$ 的整数。

为了评估信号灯配置的 “多样性”，交通管理专家提出了一种度量方式：对于任意两个不同位置 $x$ 和 $y$，它们的多样性分数被定义为大于等于 $1$ 的整数中，第一个既不是 $A_x$ 也不是 $A_y$ 的数值，记作 $\text{mex}(A_x,A_y)$。例如，当 $A_x=1$ 且 $A_y=2$ 时，$\text{mex}(1,2)=3$；当 $A_x=1$ 且 $A_y=3$ 时，$\text{mex}(1,3)=2$；当 $A_x=2$ 且 $A_y=2$ 时，$\text{mex}(2,2)=1$。

政府希望通过分析和调整信号灯配置，提升道路通行效率。为此，他们计划执行 $M$ 条操作指令，每条指令为以下两类之一：

• $1lr$：查询操作。计算所有满足 $l\le i<j\le r$ 的信号灯对 $(A_i,A_j)$，其多样性分数 $\text{mex}(A_i,A_j)$ 的总和。
• $2kx$：调整操作。将第 $k$ 个信号灯的控制模式 $A_k$ 修改为新的值 $x$。

现在，请你协助政府依次处理这 $M$ 次操作，并输出每个查询操作的结果。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$，分别表示信号灯的数量和操作指令的数量。

第二行包含 $N$ 个整数 $A_1,A_2,\dots ,A_N$，表示初始的信号灯控制模式。

接下来 $M$ 行，每行描述一条操作指令，格式如上所述。

输出格式

对于每个查询操作，输出一行包含一个整数，表示多样性分数的总和。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 3
1 2 3 4 5
1 1 5
2 1 2
1 1 5

输出 #1

15
10

说明/提示

【样例说明】

初始时信号灯的控制模式依次为：$1,2,3,4,5$。第一次查询区间 $[1,5]$，$\text{mex}$ 值分别为 $3,2,2,2,1,1,1,1,1,1$，总和为 $15$。

第二次操作后，信号灯的控制模式依次为：$2,2,3,4,5$。第二次查询区间 $[1,5]$，$\text{mex}$ 值均为 $1$，总和为 $10$。

【评测用例规模与约定】

对于 $10\%$ 的评测用例，$2\le N,M\le 100$，$1\le l<r\le N$，$1\le k\le N$，$1\le A_i,x\le 10^3$。

对于 $40\%$ 的评测用例，$2\le N,M\le 10^3$，$1\le l<r\le N$，$1\le k\le N$，$1\le A_i,x\le 10^5$。

对于 $100\%$ 的评测用例，$2\le N,M\le 10^5$，$1\le l<r\le N$，$1\le k\le N$，$1\le A_i,x\le 10^9$。

代码实现（语言：Java）

import java.util.*;

public class Main {
    static final int MAXN = 100005;
    static int n, m;
    static int[] A = new int[MAXN]; // 存储当前信号灯模式

    // 树状数组实现，用于区间统计
    static class FenwickTree {
        long[] tree = new long[MAXN];

        // 单点更新：在 x 位置增加 y
        void update(int x, int y) {
            for (int i = x; i <= n; i += i & -i) {
                tree[i] += y;
            }
        }

        // 前缀和查询：查询 [1, x] 的总和
        long query(int x) {
            long res = 0;
            for (int i = x; i > 0; i -= i & -i) {
                res += tree[i];
            }
            return res;
        }

        // 区间查询：[l, r]
        long rangeQuery(int l, int r) {
            return query(r) - query(l - 1);
        }
    }

    static FenwickTree count1 = new FenwickTree(); // 记录值为1的个数
    static FenwickTree count2 = new FenwickTree(); // 记录值为2的个数

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt(); // 信号灯数量
        m = sc.nextInt(); // 操作数量

        // 读入初始信号灯模式
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            A[i] = sc.nextInt();
            if (A[i] == 1) count1.update(i, 1);
            else if (A[i] == 2) count2.update(i, 1);
        }

        while (m-- > 0) {
            int op = sc.nextInt();

            if (op == 1) {
                // 查询操作：求区间内所有数对的 mex 总和
                int l = sc.nextInt();
                int r = sc.nextInt();

                long num1 = count1.rangeQuery(l, r); // 区间内值为1的个数
                long num2 = count2.rangeQuery(l, r); // 区间内值为2的个数
                long len = r - l + 1;
                long numOthers = len - num1 - num2; // 其他值的个数

                /**
                 * 枚举所有 (i, j) 对，满足 i < j:
                 * 总共有 len * (len - 1) / 2 个数对
                 * 分类计算：
                 * 1. mex = 1: (v1 == v1 >= 2) → (A[i], A[j]) 都不等于1
                 * 2. mex = 2: 出现1但不出现2
                 * 3. mex = 3: 出现1和2
                 */
                long countMex1 = (len - num1) * (len - num1 - 1) / 2;
                long countMex2 = (num1 * (num1 - 1)) / 2 + num1 * numOthers;
                long countMex3 = num1 * num2;

                long total = 1 * countMex1 + 2 * countMex2 + 3 * countMex3;
                System.out.println(total);
            } else if (op == 2) {
                // 修改操作：将 A[k] 改为 x
                int k = sc.nextInt();
                int x = sc.nextInt();

                // 先从树状数组中删除原来的值
                if (A[k] == 1) count1.update(k, -1);
                else if (A[k] == 2) count2.update(k, -1);

                // 更新为新值
                if (x == 1) count1.update(k, 1);
                else if (x == 2) count2.update(k, 1);

                A[k] = x; // 更新数组中的值
            }
        }
    }
}

每天带你写一道程序设计题，讲思路，写代码，练算法。
（编程题来源于网络，代码与讲解为本人原创。）

题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P12894