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实数系的基本定理_七大实数理论与互推

实数系的基本定理_七大实数理论与互推_第1张图片

七大实数理论简介

实数系的基本定理_七大实数理论与互推_第2张图片

（一）确界原理

定义1.1：

是一个非空数集，
是一个常数，若
，有
，则称
是数集
的一个上界。同理，若
，有
，则称
是数集
的一个下界。

定义1.2：若
是数集
的一个上界，并且有
，
，满足
，则称
是数集
的上确界。类似的，若
是数集
的一个下界，并且有
，
，满足
，则称
是数集
的下确界。

定理1.1：若数集

有上确界，则上确界是唯一的。

证明：使用反证法，若

是数集
的上确界，假设还有
也是上确界。

若

，根据定义1.2的否定，取
，此时
，有
，有
，因此
不是数集
的上确界。

若

，根据定义1.2，取
，那么
，使得
，因此
不是数集
的上确界。

综上所述，

，上确界唯一。

类似的，我们有：

定理1.2：若数集

有下确界，则下确界是唯一的。

定理1.3：若数集

的下确界为
，定义数集
， 那么数集
的上确界是
。

证明：由于

是数集
的下界，根据定义1.1，有
，
，
是数集
的上界。根据定义1.2有
，
，满足
，也就
，满足
。因此
是数集
的上确界。

类似的，我们有：

定理1.4：若数集

的上确界为
，定义集合
， 那么数集
的下确界是
。

在定理1.3的证明过程中我们可以得到如下结论：

定理1.5：若

是数集
的下界，定义数集
， 那么

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