并查集（Disjoint Set Union）详解与C++实现
可以解决什么问题
常用来解决连通性问题
大白话：就是当我吗需要判断两个元素是否在同一个集合里的时候，我们就要想到用并查集；
并查集主要有两个功能：
1、将两个元素添加到一个集合中；
2、判断两个元素在不在同一个集合；
原理
如何将两个元素添加到同一个集合中呢？
先看看有哪些错误想法：
1、放到同一个数组/set/map中，这样就表述两个元素在同一个集合
那问题来了，如果有成百上千个集合，难道要定义这么多个数组吗，肯定不行
2、定义一个二维数组
如果要判断两个元素是否在同一个集合里，或者添加一个元素到某集合，
只能把二维数组都遍历一遍。
这还是一个粗略的想法，如果沿着这个思路去实现代码，非常负责，因为管理集合还需要很多逻辑
正确解法：
3、将三个元素放在同一个集合，就是将三个元素连通在一起
如何连通呢，只要用一个一维数组表示：
father[A]=B,father[B]=C
这样就表述A与B与C连通了（有向连通图）
代码如下：
//将v,u这条边加入并查集
void join(int i,int v){
u=find(u);//寻找u的根
v=find(v);//寻找v的根
if（u==v) return;//如果发现根相同，则说明在同一个集合，不用两个节点相连，直接返回
father[v]=u;
}
这样我就可以知道A连通B，因为A是索引下标，根据father[A]的数值，就知道A连通B。那怎么知道B连通A呢？
我们的目的是判断这三个元素是否在同一个集合里，就知道A连通B就已经足够了。
寻根思路：只要A，B，C在同一个根下，那他们就是同一个集合。
给出A元素，就可以通过 father[A] = B，father[B] = C，找到根为 C。
`给出B元素，就可以通过 father[B] = C，找到根也为为 C，
说明 A 和 B 是在同一个集合里
find代码如下：
//并查集里的寻根过程
int find(int u){
if(u==father[u]) return u;
else return find(father[u]);
}
如何表示 C 也在同一个元素里呢？ 我们需要 father[C] = C，即C的根也为C，这样就方便表示 A，B，C 都在同一个集合里了。
所以father数组初始化的时候要 father[i] = i，默认自己指向自己。
代码如下：
void init(){
for(int i=0;i最后我们如何判断两个元素是否在同一个集合里，如果通过 find函数 找到 两个元素属于同一个根的话，那么这两个元素就是同一个集合，代码如下：
bool isSame(int u,int v){
u=find(u);
v=find(v);
return u==v;
}
路径压缩
按照以上思路，会发现find就是不断获取father数组对应下标的过程。如果树很高，那效率就很低。
![[Pasted image 20240406193000.png]]
但我们只需要知道这些节点在同一个根下就可以，所以可以简化为
![[Pasted image 20240406193020.png]]
代码如下，注意看注释，路径压缩就一行代码：
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
if (u == father[u]) return u;
else return father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}
以上代码在C++中，可以用三元表达式来精简一下，代码如下：
int find(int u) {
return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}
总结
整体c++模版如下：
int n=1005;//根据题目节点数量而定
vector father=vector(n,0);
//并查集初始化
void init(){
for(int i=0;iu这条边加入并查集
void join(int u,int v){
u=find(u);
v=find(v);
if(u==v) return;
father[v]=u;
}
通过模版，我们可以知道，并查集主要有三个功能：
1、寻找根节点；
2、将两个节点接入到同一个集合；
3、判断两个节点是否在同一个集合；
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