波动方程延拓法求解
题目
问题 8. 使用延拓法结合达’Alembert公式解决以下十二个问题中的每一个。
第一个问题：
{ u t t − c 2 u x x = 0 , x > 0 , u ∣ t = 0 = 0 , x > 0 , u t ∣ t = 0 = cos ( x ) , x > 0 , u ∣ x = 0 = 0 , t > 0 ; \begin{cases} u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0, & x > 0, \\ u|_{t=0} = 0, & x > 0, \\ u_t|_{t=0} = \cos(x), & x > 0, \\ u|_{x=0} = 0, & t > 0; \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧utt−c2uxx=0,u∣t=0=0,ut∣t=0=cos(x),u∣x=0=0,x>0,x>0,x>0,t>0;
第二个问题：
{ u t t − c 2 u x x = 0 , x > 0 , u ∣ t = 0 = 0 , x > 0 , u t ∣ t = 0 = cos ( x ) , x > 0 , u x ∣ x = 0 = 0 , t > 0 ; \begin{cases} u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0, & x > 0, \\ u|_{t=0} = 0, & x > 0, \\ u_t|_{t=0} = \cos(x), & x > 0, \\ u_x|_{x=0} = 0, & t > 0; \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧utt−c2uxx=0,u∣t=0=0,ut∣t=0=cos(x),ux∣x=0=0,x>0,x>0,x>0,t>0;
（注：图片中只显示了两个问题，但题目提到“以下十二个问题”。基于用户提供的内容，此处仅解决这两个问题。）
解决方法
问题涉及半无限弦（ x > 0 x > 0 x>0) 的波动方程 u t t − c 2 u x x = 0 u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0 utt−c2uxx=0，需使用延拓法（method of continuation）结合 D’Alembert 公式求解。延拓法根据边界条件类型扩展初始条件到整个实数线：
- Dirichlet 边界条件（ u ∣ x = 0 = 0 u|_{x=0} = 0 u∣x=0=0）使用奇延拓。
- Neumann 边界条件（ u x ∣ x = 0 = 0 u_x|_{x=0} = 0 ux∣x=0=0）使用偶延拓。
D’Alembert 公式为：
u ( x , t ) = 1 2 [ ϕ ( x + c t ) + ϕ ( x − c t ) ] + 1 2 c ∫ x − c t x + c t ψ ( s ) d s u(x,t) = \frac{1}{2} [\phi(x+ct) + \phi(x-ct)] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s) ds u(x,t)=21[ϕ(x+ct)+ϕ(x−ct)]+2c1∫x−