波动方程边界条件与解分析

题目

问题 7. 考虑带有初始条件的方程：
$$\{\begin{array}{ll}{u}_{tt}-c^2{u}_{xx}=0,& t>0,x>vt,\\ u{|}_{t=0}=f(x),& x>0,\\ u_t{|}_{t=0}=g(x),& x>0.\end{array}$$

(a) 找出在 $$x=vt$$, $$t>0$$ 处，以下哪个条件 (A)-(D) 可以添加到这个问题中，使得结果问题有唯一解，并解决你认为合适的那个问题：

• (A) 无，
• (B) $$u{|}_{x=vt}=0(t>0)$$,
• © $$(\alpha u_x+\beta u_t){|}_{x=vt}=0(t>0)$$,
• (D) $$u{|}_{x=vt}=u_x{|}_{x=vt}=0(t>0)$$.

考虑情况 $$v>c$$, $$-c<v<c$$ 和 $$v<-c$$。在条件 © 的情况下，找出对 $$\alpha ,\beta$$ 的必要限制。

(b) 在解存在且唯一确定的情况下，求出解；分别考虑区域 $$x>ct$$, $$-ct<x<ct$$ 和 $$x>ct$$（与 $$x>vt$$ 相交）。

注： (b) 部分中的区域描述 “$$-ct<-x<-ct$$” 被认为是打字错误，正确应为 “$$-ct<x<ct$$”。同时，"$$x>$$