二叉树的一些性质

概述

本文给出了一些二叉树的常用性质，由笔者的复习笔记整理而来。

二叉树的常用性质总结

二叉树是数据结构中最基础且重要的树形结构之一，具有以下关键性质：

---

1. 基本性质

1. 节点数计算：

   • 若二叉树深度为 ( h )，则：
     • 最少节点数：( h + 1 )（退化为链状）。
     • 最多节点数：( 2^h - 1 )（满二叉树）。
   • 若总节点数为 ( n )，则：
     • 最小深度：( \lfloor \log_2 n \rfloor + 1 )。
     • 最大深度：( n )（链状树）。

2. 边与节点关系：

   • 一棵 ( n ) 个节点的二叉树有 ( n-1 ) 条边。

3. 叶子节点与非叶子节点：

   • 非空二叉树中，叶子节点数 ( n_0 ) 和非叶子节点数 ( n_1 + n_2 )（度为1和2的节点）满足：
     • ( n_0 = n_2 + 1 )（对于任何二叉树成立）。

---

2. 特殊二叉树的性质

1. 满二叉树（Full Binary Tree）：

   • 每个节点都有 0 或 2 个子节点。
   • 深度为 ( h ) 的满二叉树有 ( 2^h - 1 ) 个节点。

2. 完全二叉树（Complete Binary Tree）：

   • 除最后一层外，其他层必须填满，且最后一层节点靠左对齐。
   • 适用于数组存储（下标从 0 开始）：
     • 父节点索引：( \lfloor (i-1)/2 \rfloor )。
     • 左孩子索引：( 2i + 1 )。
     • 右孩子索引：( 2i + 2 )。

3. 二叉搜索树（BST）：

   • 左子树所有节点值 < 根节点值 < 右子树所有节点值。
   • 中序遍历结果为有序序列。

4. 平衡二叉树（如AVL树、红黑树）：

   • 任意节点的左右子树高度差不超过 1（AVL树）或遵循红黑规则（红黑树）。
   • 保证操作（插入、删除、查找）的时间复杂度为 ( O(\log n) )。

---

3. 遍历性质

1. 遍历序列唯一性：

   • 前序 + 中序 或 后序 + 中序 可唯一确定一棵二叉树。
   • 但前序 + 后序不能唯一确定（除非是满二叉树）。

2. 递归遍历公式：

   • 前序遍历：根 → 左 → 右。
   • 中序遍历：左 → 根 → 右。
   • 后序遍历：左 → 右 → 根。

关于更多遍历的内容可以参考这篇博文

---

4. 应用相关性质

1. 堆（Heap）：

   • 是完全二叉树，且满足堆序性质（大根堆/小根堆）。
   • 常用于优先队列和堆排序。

2. 哈夫曼树（Huffman Tree）：

   • 带权路径长度最短的二叉树，用于数据压缩。
   • 无度为1的节点（即只有 ( n_0 ) 和 ( n_2 )）。

3. 表达式树：

   • 叶子为操作数，内部节点为运算符。
   • 中序遍历得到中缀表达式，后序遍历得到后缀表达式。

---

5. 数学性质

1. 不同形态的二叉树数量：

   • ( n ) 个节点能构成的不同二叉树形态数为卡特兰数（Catalan Number）：
     [
     C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}
     ]
   • 例如：3个节点有5种不同形态。

2. 路径长度：

   • 内部路径长度（IPL）：根到所有内部节点的路径和。
   • 外部路径长度（EPL）：根到所有叶子节点的路径和。
   • 对于满二叉树，( \text{EPL} = \text{IPL} + 2n )。

---

总结

• 结构性质：节点、边、深度的关系是基础。
• 特殊类型：满二叉树、完全二叉树、BST、平衡树各有独特性质。
• 遍历与构造：遍历序列的关联性至关重要。
• 应用场景：堆、哈夫曼树等依赖二叉树的特定性质。