P3131 [USACO16JAN] Subsequences Summing to Sevens S

难度：普及−；

题意：

​ 数据范围：$1\le N\le 50000$，$0\le a_i\le 1000000$。

​ 给定 $n$ 个数，求一段区间和是 $7$ 的倍数，找出这一段的长度是为多少，如果不存在输出 $0$ 。

分析：

​ 很快就想到的是前缀和 + 暴力枚举 $O(n^2)$，枚举区间的起点和终点 $[l,r]$，并判断区间是否为 $7$ 的倍数来查找出符合的区间长度作更新，具体代码可以看下面。期望得分是$70$ pts（实际得分 $68$ pts，不重要）。

$O(n^2)$ 做法：

#include 
#define ll long long

const int N = 50050;
int n, a[N], sum[N];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(nullptr);
    std::cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        std::cin >> a[i], sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    int ans = 0;
    for (int l = 1; l <= n; l++)
        for (int r = l; r <= n; r++)
            if (ans > (r - l + 1)) // 比答案的长度小，不可能成为答案
                continue;
            else
            {
                int s = sum[r] - sum[l - 1]; // 区间区间和
                if (s % 7 == 0)
                    ans = std::max(ans, r - l + 1);
            }
    std::cout << ans << "\n";
    return 0;
}

优化：

n=7

ai
3
5
1
6
2
14
10

前缀和 - 余数
3 - 3 *
8 - 1
9 - 2
15 - 1
17 - 3
31 - 3 * 
41 - 6

答案序列 [5,1,6,2,14], len = 5

先按照题目的要求，对前缀和作模 $7$ 的操作，一是加速计算区间和，二是符合题目的区间和要求。通过上述的模拟 / 数学规律得知，$a\equiv b(modc)$ 则 $(a-b)\equiv 0(modc)$。

例如：$a=10,b=3,c=7$ 时，满足上述规律，证明起来比较简单，这里不再赘述。

具体做法，扫描余数 $0\sim 6$，再从序列的起点开始扫找第一个等于余数 $i$ 的位置 $s$，再从序列的末尾开始扫第一个等于余数 $i$ 的位置 $t$，显然 $t-s$（但不包含 $s$ 本身）的倍数为 $7$ 的序列，故不需要加一。

​ 下面的代码要注意，$j$ 是枚举序列的符合要求的起点和终点，但如果只有一个元素的时候，答案就不正确了被 hack，正确的做法是将 $j$ 每次枚举的位置从 $0$ 开始，因为我们发现如果和整除七的一段是从头开始的，而上面也说过，和为 7 倍数的一段不包括 s，所以就没有办法统计答案从头开始的数据。

​ 怎么办呢？很简单，只需要把内层循环的 j 改成从 0 开始就可以解决从第一位开始的情况。

$O(n)$，参考代码：

#include 
#define ll long long

const int N = 50010;
int a[N], sum[N], n;

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(nullptr);
    std::cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        std::cin >> a[i], sum[i] = (sum[i - 1] + a[i]) % 7;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= 6; i++) // 遍历余数
    // 想头尾第一个相同的余数
    {
        int l = 0, r = 0;
        for (int j = 0; j <= n; j++) // 不包含 l 本身，即 ( l,r ]
            if (sum[j] == i)
            {
                l = j;
                break;
            }
        for (int j = n; j >= 0; j--)
            if (sum[j] == i)
            {
                r = j;
                break;
            }
        ans = std::max(ans, r - l);
    }
    std::cout << ans << '\n';
    return 0;
}