02、大数 -- BigDecimal、BigInteger

一、概述

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• 如果基本的 整数和浮点数 精度不足以满足需求，可以使用 java.math 包中两个很有用的类：
  • BigInteger 和 BigDecimal。
• 这两个类可以处理包含任意长度 数字序列的数值。

二、BigInteger

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1、用途

• BigInteger 类可实现任意精度的整数运算。如：
• 超出long范围（-9,223,372,036,854,775,808 ~ 9,223,372,036,854,775,807）的大整数。

2、典型场景

• 大数阶乘（如：1000!）。
• 密码学中的大数运算（如：RSA算法）。
• 精确的整数计算（如：财务或科学计算）。

public class BigIntegerTest {
    public static void main(String[] args) {
        // 使用静态的 valueOf 方法可以将一个【普通的数】转换为【大数】。
        BigInteger c = BigInteger.valueOf(100);
        // 输出：100
        System.out.println(c);

        // 对于更长的数，可以使用一个带 【字符串参数】 的构造器：
        BigInteger a = new BigInteger("123456789012345678901234567890");
        // 输出：123456789012345678901234567890
        System.out.println(a);
        BigInteger b = new BigInteger("987654321098765432109876543210");
        // 输出：987654321098765432109876543210
        System.out.println(b);

        // 加法
        BigInteger sum = a.add(b);
        // 输出：1111111110111111111011111111100
        System.out.println(sum);

        // 乘法
        BigInteger product = a.multiply(b);
        // 输出：121932631137021795226185032733622923332237463801111263526900
        System.out.println(product);
    }
}

三、BigDecimal

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1、用途：

• BigDecimal 类可实现任意精度的浮点数运算。避免 double/float 的精度丢失问题。

2、典型场景：

• 金融计算（如：货币金额）。
• 科学计算需要精确小数位的场景。
• 避免浮点数舍入误差（如：0.1 无法精确表示为二进制浮点数）。

3、注意事项：

• 1、避免使用 double 初始化：直接用 double 会导致精度丢失。

public class BigDecimalTest {
    public static void main(String[] args) {
        // 不精确的数 -- 丢失精度的值（实际值≈0.10000000000000000555...）
        BigDecimal d1 = new BigDecimal(0.1);
        
        // 输出：0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
        System.out.println(d1);

        // 精确的数 -- 未丢失精度的值
        BigDecimal d2 = new BigDecimal("0.1");
        // 输出：0.1
        System.out.println(d2);
    }
}

• 2、 精度与标度管理：乘法和除法需显式设置精度，避免累积误差：
  • 通过 MathContext 或 setScale() 方法，显式控制精度和标度。

BigDecimal x = new BigDecimal("1.234");
BigDecimal y = new BigDecimal("5.678");
// 保留两位小数
BigDecimal product = x.multiply(y).setScale(2, RoundingMode.HALF_UP); 

• 3、 舍入模式（舍弃、向上/向下取整、四舍五入）：
  • 必须指定舍入模式，否则可能抛出 ArithmeticException ：

BigDecimal a = new BigDecimal("1");
BigDecimal b = new BigDecimal("3");
// 错误：未指定舍入模式
// BigDecimal result = a.divide(b); 
// 正确：必须指定舍入模式，确保结果可控。
BigDecimal result = a.divide(b, 2, RoundingMode.HALF_UP); // 结果为0.33

• 4、 等值比较：使用 compareTo() 而非 equals() ：

BigDecimal a = new BigDecimal("2.0");
BigDecimal b = new BigDecimal("2.00");
a.equals(b); // false（精度不同）
a.compareTo(b) == 0; // true（数值相等）

• 5、不可变性（Immutability）
  • 所有运算生成新对象，原始值不变，避免并发修改导致的意外精度损失。

BigDecimal a = new BigDecimal("10.5");

// a 的值仍为 10.5
BigDecimal b = a.add(new BigDecimal("2.3"));

四、BigDecimal 进行运算时，保证精度不丢失的原理

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1、十进制存储结构

• BigDecimal 内部通过两个核心组件表示数值：
  • 未缩放值 (Unscaled Value) / 未缩放的整数值：
    • 一个任意精度的整数 (BigInteger)，存储数值的有效数字。
  • 标度（Scale）：
    • 一个 32 位整数，表示小数点后的位数（即：小数点的位置）。
• 所有运算均基于 BigInteger 的整数运算，完全避免浮点数的二进制精度丢失。

• 如：数值 123.45 表示为：
  • 未缩放值 = 12345
  • 标度 = 2（即 12345 × 10⁻²）
• 这种设计直接以十进制形式****存储数值，避免了二进制浮点数的精度丢失问题。
  • 如：0.1 无法用二进制进行精确表示。

2、精确的运算规则

• BigDecimal 的运算通过整数操作实现，确保每一步计算精确可控：
  • 如：123.45（标度 2），67.8（标度 1） 两个数字。

1)、加/减法

• 标度对齐：将两个操作数的标度调整为相同值。
  • 123.45 （标度 2） + 67.8 （标度 1） → 转换为 67.80 （标度 2）。
• 整数运算：直接对未缩放值进行加减。
  • 12345 + 6780 = 19125 → 结果 191.25 （标度 2）。

2)、乘法

• 未缩放值 相乘：直接对未缩放值进行乘法。
  • 12345 × 678 = 8364810
• 标度相加：结果的标度为两个操作数 标度之和。
  • 标度 2 + 1 = 3 → 结果 8364.810。

3)、除法

• 显式指定 精度和舍入模式：必须定义结果的小数位数和舍入规则，否则抛出异常。
  • 如：1 ÷ 3 指定标度为 2，舍入模式为 HALF_UP → 结果 0.33。