LeetCode 213.打家劫舍II 动态规划详细解法

213. 打家劫舍 II

题目来源

213. 打家劫舍 II

题目分析

在这个问题中，房屋排列成一个圆形，小偷不能在同一晚上偷窃相邻的房屋，否则会触发警报。给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，我们需要计算小偷在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

题目难度

• 难度：中等

题目标签

• 标签：动态规划

题目限制

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] <= 400

解题思路

这道题其实是198.打家劫舍添加了一个约束条件：首尾不能同时选，那么我们就可以分解问题为两个简单问题，让这个问题退化为198.打家劫舍类型
由于房屋排列成一个圆形，我们需要处理两个特殊情况：

1. 偷窃从第一个房屋到倒数第二个房屋的情况（不偷第一个房屋）。
2. 偷窃从第二个房屋到最后一个房屋的情况（不偷最后一个房屋）。

这两个子问题的解决方法与第198题198.打家劫舍相同，即使用动态规划。

核心算法步骤

1. 分解问题：

   • 第一个子问题：处理房屋从 nums[0] 到 nums[n-2]（即不包括最后一个房屋）。
   • 第二个子问题：处理房屋从 nums[1] 到 nums[n-1]（即不包括第一个房屋）。

2. 动态规划：

   • 对于每个子问题，使用动态规划来计算每种情况的最大偷窃金额，方法与第198题198.打家劫舍相同。

代码实现

以下是求解房屋偷窃问题 II 的 Java 代码：

/**
 * 213. 打家劫舍 II
 * @param nums 房屋存放金额的非负整数数组
 * @return 偷窃到的最高金额
 */
public static int rob2(int[] nums) {
    if (nums.length == 0) {
        return 0;
    }
    if (nums.length == 1) {
        return nums[0];
    }
    if (nums.length == 2) {
        return Math.max(nums[0], nums[1]);
    }
    return Math.max(rob1(nums, 0, nums.length - 2), rob1(nums, 1, nums.length - 1));
}

/**
 * 动态规划求解单排房屋偷窃问题
 * @param nums 房屋存放金额的非负整数数组
 * @param start 起始房屋索引
 * @param end 结束房屋索引
 * @return 偷窃到的最高金额
 */
private static int rob1(int[] nums, int start, int end) {
    int dp0 = nums[start], dp1 = Math.max(nums[start], nums[start + 1]);
    for (int i = start + 2; i <= end; i++) {
        int dp2 = Math.max(dp1, dp0 + nums[i]);
        dp0 = dp1;
        dp1 = dp2;
    }
    return dp1;
}

代码解读

• rob2 方法：

  • 检查房屋数量的边界情况。
  • 调用 rob1 方法处理两个子问题，选择其中的最大值作为最终结果。

• rob1 方法：

  • 这是处理线性房屋排列问题的动态规划实现。
  • 使用 dp0 和 dp1 来跟踪前两个状态的最高金额，通过循环遍历更新状态。

性能分析

• 时间复杂度：O(n)，遍历房屋数组两次（分别计算两个子问题）。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数级别的额外空间。

测试用例

你可以使用以下测试用例来验证代码的正确性：

int[] nums1 = {2, 3, 2};
int result1 = rob2(nums1);
System.out.println(result1);
// 输出: 3 (偷窃 3)

int[] nums2 = {1, 2, 3, 1};
int result2 = rob2(nums2);
System.out.println(result2);
// 输出: 4 (偷窃 1 + 3)

扩展讨论

优化写法

• 空间优化：
  • rob1 方法中的空间使用已经是最优的，通过仅使用两个变量来跟踪状态。

其他实现

• 递归：
  • 除了动态规划，还可以使用递归方法，但会有较高的时间复杂度和空间复杂度，适用于较小的数据集。

总结

这道题目通过将圆形房屋问题转化为两个线性房屋问题来解决。动态规划的核心在于状态的转移和边界条件的处理，这种方法在处理类似问题时非常高效。

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