波动方程解的推导与证明

题目

问题 4.
(a) 证明如果 $$u$$ 满足问题
$$\{\begin{array}{ll}{u}_{tt}-c^2{u}_{xx}=0& -\infty <x<\infty ,\\ u{|}_{t=0}=g(x),& \\ u_t{|}_{t=0}=0,& \end{array}\text{\hspace{1em}(2.C.2)}$$
则 $$v={\int }_0^{t}u(x,t^{\prime })d{t}^{\prime }$$ 满足
$$\{\begin{array}{ll}{v}_{tt}-c^2{v}_{xx}=0& -\infty <x<\infty ,\\ v{|}_{t=0}=0,& \\ v_t{|}_{t=0}=g(x).& \end{array}\text{\hspace{1em}(2.C.3)}$$

(b) 并且证明如果 $$v$$ 满足 (2.C.3) 则 $$u=v_t$$ 满足 (2.C.2)。

第2章 一维波 42

© 从公式
$$u(x,t)=\frac{1}{2}\left(g(x+ct)+g(x-ct)\right)\text{\hspace{1em}(2.C.4)}$$
（即 (2.C.2) 的解）推导出
$$v(x,t)=\frac{1}{2c}{\int }_{x-ct}^{x+ct}g(x^{\prime })d{x}^{\prime }\text{\hspace{1em}(2.C.5)}$$
（即 (2.C.3) 的解）。

(d) 反之，从 (2.C.5)（即 (2.C.3) 的解）推导出 (2.C.4)（即 (2.C.2) 的解）。

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解答

以下逐步证明问题 4 的各个部分。假设所有函数足够光滑，使得导数和积分交换顺序成立，且 $$g(x)$$ 是可积函数。

(a) 证明：若 $$u$$ 满足 (2.C.2)，则 $$v={\int }_0^{t}u(x,t^{\prime })d{t}^{\prime }$$ 满足 (2.C.3)

设 $$u$$ 满足 (2.C.2)，即：

• $$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0$$，
• 初始条件 $$u(x,0)=g(x)$$，
• 初始速度 $$u_t(x,0)=0$$。

定义 $$v(x,t)={\int }_0^{t}u(x,\tau )d\tau$$（其中 $$\tau$$ 是积分哑变量）。需证 $$v$$ 满足 (2.C.3)：

1. 波动方程：$$v_{tt}-c^2{v}_{xx}=0$$。
2. 初始条件：$$v(x,0)=0$$ 和 $$v_t(x,0)=g(x)$$。

步骤 1：计算 $$v$$ 的偏导数。

• 时间一阶偏导：
  $$v_t=\frac{\partial }{\partial t}{\int }_0^{t}u(x,\tau )d\tau =u(x,t),$$
  由 Leibniz 积分法则（上限为 $$t$$，下限为常数）。
• 时间二阶偏导：
  $$v_{tt}=\frac{\partial }{\partial t}{v}_t=\frac{\partial }{\partial t}u(x,t)=u_t(x,t).$$
• 空间一阶偏导：
  $$v_x=\frac{\partial }{\partial x}{\int }_0^{t}u(x,\tau )d\tau ={\int }_0^t{u}_x(x,\tau )d\tau ,$$
  假设导数与积分可交换。
• 空间二阶偏导：
  v x x = ∂ ∂