Goursat问题解的公式推导

题目

问题 7. 求 Goursat 问题的解的公式

$$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0,x>c|t|;\text{\hspace{1em}(2.C.11)}$$

当 $$t<0$$ 时，$$u{|}_{x=-ct}=g(t)$$; \tag{2.C.12}

当 $$t>0$$ 时，$$u{|}_{x=ct}=h(t)$$. \tag{2.C.13}

其中 $$g(0)=h(0)$$.

解决问题

该问题是一个波动方程的 Goursat 问题。波动方程为 $$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0$$，这是一个二阶线性齐次双曲型偏微分方程。边界条件在特征线 $$x=-ct$$（当 $$t<0$$）和 $$x=ct$$（当 $$t>0$$）上给出，定义域为 $$x>c|t|$$（楔形区域），且要求 $$g(0)=h(0)$$ 以确保解在原点连续。

解法步骤

1. 引入特征变量：
   令 $$\xi =x-ct$$，$$\eta =x+ct$$。
   则波动方程化为 $$u_{\xi \eta }=0$$，其通解为：
   $$u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )$$
   其中 $$F$$ 和 $$G$$ 是任意函数。在原始变量中，解可写为：
   $$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)$$

2. 应用边界条件：

   • 当 $$t<0$$ 时，在 $$x=-ct$$ 上，$$u=g(t)$$。代入特征变量：
     $$\xi =x-ct=-ct-ct=-2ct,\eta$$