线性代数导引：附录：行列式几何解释

1. 背景介绍

线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换。在计算机科学中，线性代数被广泛应用于图形学、机器学习、数据挖掘等领域。行列式是线性代数中的一个重要概念，它可以用来求解线性方程组的解、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等问题。本文将介绍行列式的几何解释，帮助读者更好地理解行列式的概念和应用。

2. 核心概念与联系

2.1 向量的叉积

向量的叉积是指两个向量的乘积得到的另一个向量。设向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和 $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则它们的叉积为：

$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}$$

其中，$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$ 分别是 $x$、$y$、$z$ 轴上的单位向量。

2.2 行列式的定义

行列式是一个数值，它可以用来判断一个矩阵是否可逆。设 $A=(a_{ij})