CppCon 2016 学习:fixed_point Library

没看出来有什么用

你这段内容是在讲 定点数（Fixed-Point Number） 的结构和表示方法。让我帮你详细解释一下：

定点数的结构（Anatomy of a Fixed-Point Number）

这里的符号排列表示一个定点数的位分布：

I I I I I I I I F F F F F F F F

• 这里 I 代表整数部分的位（Integer bits）
• F 代表小数部分的位（Fractional bits）
  比如说：
• 8 位整数（I）
• 8 位小数（F）
  这个定点数用 16 位二进制数来表示，其中高 8 位是整数部分，低 8 位是小数部分。

具体数值举例

定点数的值计算公式是：
$$\text{Value}=\text{Integer part}+\text{Fractional part}$$
举例：

• 最大整数部分：$2^7+2^6+\cdots +2^0=128+64+32+16+8+4+2+1=255$
• 最大小数部分：$1/2+1/4+1/8+\cdots +1/256=1-1/256=255/256\approx 0.99609375$
  因此整个数最大值是：
  $$255+\frac{255}{256}=255.99609375$$

数值换算

定点数通常存储为整数，但你要理解它实际表示的值，需要除以一个缩放因子：

• 比如这里小数部分是 8 位，则缩放因子是 $2^8=256$。
• 存储值是整数，比如最大是 65535。
  因此：
  $$\frac{65535}{256}=255.99609375$$
  正好对应上述最大值。

总结

• 定点数用固定数量的整数位和小数位表示数值。
• 实际数值 = 存储的整数 / $2^{\text{fractional\_bits}}$
• 这种表示方式常用在嵌入式系统、DSP 及不方便用浮点数计算的硬件中。

fixed_point.h（版本0）示例代码实现了一个简单的 定点数（u8.8格式） 类型及其基本转换和运算功能。理解和批评点都非常有价值，我帮你详细拆解和解释一下：

代码功能简介

#include 
using u8_8 = std::uint16_t;  // 16位无符号整数表示u8.8定点数
constexpr u8_8 float_to_fixed(float f)
{
  return f * 256;  // 把float转成定点格式：乘以2^8
}
constexpr float fixed_to_float(u8_8 i)
{
  return i / 256.f;  // 把定点格式转成float：除以2^8
}
constexpr u8_8 add(u8_8 a, u8_8 b)
{
  return a + b;  // 定点数加法，直接加整数值即可
}
constexpr u8_8 multiply(u8_8 a, u8_8 b)
{
  return (uint32_t(a) * uint32_t(b)) / 256;  // 定点乘法，结果缩放回来
}

代码存在的问题（Criticisms）

1. 类型安全（Type Safety）
   • float 和 u8_8（定点数）类型虽然底层都是数值，但含义完全不同，混用容易出错。
   • 建议封装成专用类，防止误用。
2. 通用性（Generality）
   • 目前只支持 u8.8，即8位整数，8位小数的定点格式。
   • 不能灵活支持其他定点格式，比如 u16.16 或带符号的定点数。
3. 易用性（Usability）
   • 目前只有函数实现加法和乘法，缺少运算符重载，不方便写表达式。
   • 例如没有重载 operator+、operator* 等。
4. 溢出安全（Overflow Safety）
   • 加法和乘法都没有检测溢出。
   • 比如 255 * 255 可能溢出 uint16_t，结果不可预测。
5. 精度和舍入（Fidelity）
   • 乘法除以256时没有任何舍入处理，默认向下取整，可能造成累计误差。
   • 更好的实现会有舍入、四舍五入等策略。
6. 类型提升和预测性（Predictability）
   • uint8_8 是 uint16_t，但乘法中转成了 uint32_t 以避免溢出，后续再除以256。
   • 这种隐式类型提升不易察觉，代码复杂度提高。
7. 可移植性（Portability）
   • 虽然 uint16_t 在多数平台是16位无符号整数，但标准并不保证所有平台行为完全一致。
   • 对于跨平台定点数库，需要特别注意整型大小和溢出行为。

总结和建议

• 你这段代码是定点数的最简版本，很适合作为入门学习示例。
• 若要用在实际项目中，需要改进：
  • 用 class FixedPoint 把底层类型封装起来，增加类型安全。
  • 支持不同的定点格式，通过模板参数来指定整数和小数位数。
  • 重载算术运算符。
  • 添加溢出检测或使用更大类型中间计算。
  • 实现舍入策略，保证精度。
• 这样才能更健壮、更易用、更可移植。

对定点数实现中“整数不会遇到的问题”做进一步批评，并提出一种模块化解决方案的假设和建议。下面帮你总结和补充理解：

Criticisms (针对定点数，但整数一般不会有的主要问题)

1. 类型安全 (Type Safety)
   浮点数（float）和定点数表示不同语义，不能随便混用，导致容易出错。
   — 纯整数通常语义单一，混淆少。
2. 通用性 (Generality)
   只支持特定定点格式（如 u8.8），缺乏灵活性。
   — 整数类型可选性多，且标准明确。
3. 易用性 (Usability)
   缺少算术运算符重载，表达式难写。
   — 整数内建运算符齐全。
4. 溢出安全 (Overflow Safety)
   乘法加法易溢出且无检测。
   — 整数运算可能溢出，但已有方案可检测。
5. 精度问题 (Fidelity)
   乘除操作舍入倾向零或负无穷，累积误差大。
   — 整数无小数问题。
6. 预测性 (Predictability)
   类型隐式变化（如int提升），可能导致意外行为。
   — 整数提升规则有标准定义但仍复杂。
7. 可移植性 (Portability)
   int等类型大小和行为平台不同，移植难。
   — 整数类型标准化程度有限。

你的假设（Hypothesis）

针对 C++ 中内建定点数类型存在的问题，最好是逐个问题用独立的“字面量类模板”（literal class template）来解决。

1. 每个问题对应一个专门的解决类模板。
   • 比如解决溢出检测的 checked_integer<>，
   • 解决结果宽度的 widening_integer<>，
   • 解决舍入问题的 rounded_integer<>，
   • 解决子单位精度的 fixed_point<>。
2. 这些模板可以和内建类型组合产生新的数值类型。
3. 多个模板可以组合，形成一个同时解决多个问题的类型。
4. 所有操作在零运行时成本（zero runtime cost）下完成——依赖编译期机制和内联。
5. 编译时间成本也尽量最小化。

具体建议的模板示例

• checked_integer<>：带溢出检测的整数，运行时溢出时抛异常或断言。
• widening_integer<>：运算时结果自动用更大类型存储，避免溢出。
• rounded_integer<>：运算和浮点转整数时进行合理舍入。
• fixed_point<>：支持定点格式，带整数和小数位数模板参数。

总结

你的观点是把定点数设计拆成几个可组合、专注单一职责的模板，这样比写一个大而全的“魔法类”更灵活、可维护，也更高效。且可以逐步解决定点数的各种棘手问题。

sg14::fixed_point<> 是 C++ 标准化努力中的一个定点数模板类，相关提案是 P0037，作者 John McFarlane 维护的库在 GitHub 上。

sg14::fixed_point 简介

• 命名空间：sg14（即 Standard Group 14，C++ 标准库扩展小组）
• 模板参数：
  • Rep：底层整数类型（默认是 int）
  • Exponent：定点数的小数位的指数，负数表示小数位数，比如 -8 表示 8 位小数
• 定义示例：

  namespace sg14 {
    template<class Rep = int, int Exponent = 0>
    class fixed_point;
  }
  

• 使用示例：

  #include 
  using u8_8 = sg14::fixed_point<uint16_t, -8>;
  

  这里的 u8_8 就是用 16 位无符号整数（uint16_t）作为底层存储，且有 8 位小数的定点数类型。

优势和特点

• 类型安全：底层整数类型与小数位数都明确，避免误用。
• 泛型设计：模板化，可以灵活选择底层整数和小数精度。
• 算术运算符支持：重载了算术、比较等运算符，方便使用。
• 溢出和舍入：通常结合其他辅助模板（如sg14::overflow_handler）来处理。
• 兼容性：设计为标准库扩展，有望未来纳入C++标准。
• 零开销抽象：编译期常量参数和内联函数确保运行时无额外开销。

进一步行动

• 你可以看看这个库的源码和文档，尝试在项目中使用它。
• 可以对比自己写的定点数实现，看看它解决了哪些“批评点”。
• 如果你想，我可以帮你写几个sg14::fixed_point的小示例，演示基本的用法和运算。

这部分内容讨论了定点数库设计中非常关键的“乘法问题”和相关的算术实现、类型安全、扩展性等。

乘法问题（Multiply Problem）

乘法操作的返回类型（decltype）设计：

• 截断（Truncate）策略：
  • 丢弃低位：
    • 适合 make_fixed<0, N>（纯小数位）
    • 不适合 make_fixed（纯整数位）
  • 丢弃高位：
    • 适合 make_fixed
    • 不适合 make_fixed<0, N>
  • 匹配操作数：
    • 结果用 fixed_point，即乘积类型的底层整数类型和相同的指数，但会造成溢出风险。
• 扩展（Widen）策略：
  • 乘法结果用更宽的整数类型表示，避免溢出风险。
  • 产生新类型，编译期需要计算位宽，可能影响编译速度。
  • 但赋值回窄类型时会截断，仍需注意。

算术函数示例

auto x = fixed_point<uint8_t, -4>{15.9375};
// x * x = 254.00390625，但 uint8_t 存不下，会溢出
cout << fixed_point<uint8_t, -4>{x*x} << endl; // 输出 "14"，错误结果
// 乘法操作符会自动扩展类型
auto xx = x*x;  
static_assert(is_same<decltype(xx), fixed_point<uint16_t, -8>>::value, "");
cout << setprecision(12) << xx << endl; // 正确输出 254.00390625
// 也可以用命名函数来调用乘法
auto named_xx = multiply(x, x);
static_assert(is_same<decltype(named_xx), fixed_point<int, -8>>::value, "");
cout << named_xx << endl; // 结果正确，但更易溢出

组合（Composition）

• 定义极大位数的定点类型，如 400 位整数 + 400 位小数，底层用多精度库（Boost Multiprecision）存储。
• 计算大数如 googol (10^100)：

using big_number = make_ufixed<400, 400, boost::multiprecision::uint128_t>;
auto googol = big_number{1};
for (auto zeros = 0; zeros != 100; ++zeros)
  googol *= 10;
cout << googol << endl; // 输出 "1e+100"
cout << big_number{1} / googol << endl; // 近似输出 "1e-100"

Elastication™（弹性整数）

• 弹性整数根据运算自动扩展位宽，避免溢出。

auto a = elastic_integer<6, int8_t>{63};
auto aa = a*a;
static_assert(is_same<decltype(aa), elastic_integer<12, int8_t>>::value, "");

• 乘法后类型自动升级成12位宽的弹性整数，大小也变为2字节。

Elastication + fixed_point

• 结合弹性整数和定点数，自动扩展精度且安全。

template<int IntegerDigits, int FractionalDigits, typename Archetype>
using elastic = fixed_point<elastic_integer<IntegerDigits+FractionalDigits, Archetype>, -FractionalDigits>;
auto b = elastic<4, 28, unsigned>{15.9375};
auto bb = b*b;
cout << bb << endl; // "254.00390625"
static_assert(is_same<decltype(bb), elastic<8, 56, unsigned>>::value, "");

安全性（Safety）

• 用 boost::numeric::safe 等安全类型来防止溢出。

using safe_byte = make_fixed<3, 4, boost::numeric::safe<int>>;
try {
  auto a = safe_byte{-8};
  cout << a << endl; // 输出 "-8"
  auto b = safe_byte{10}; // 超出范围
  cout << b << endl;
} catch(std::range_error e) {
  cout << e.what() << endl; // 输出异常信息
}

语言特性相关

• C++11/14：constexpr，auto，decltype，用户自定义字面量
• C++17：模板参数推导
• 未来（C++20+？）：concepts 和更多语言支持，可能会进一步提升定点数的易用性和安全性。