对上一节的NN网络中的前向和反向传递函数进行详解

网络说明

前向传递函数

单个神经节点的前向传递为：
$$\begin{gathered} outpu{t}^N=sigmoid(\sum _{i=0}^n(outpu{t}_i^{N-1}\ast W^i)+b) \\ outpu{t}^N=ReLU(\sum _{i=0}^n(outpu{t}_i^{N-1}\ast W_i^N)+b) \end{gathered}$$

因此其单层的前行传递代码为

# output1 = F(output0,weight0,bias0,active_mode)
output1 = ReLU(np.dot(weight0, output0) + bias0) if active_mode == "ReLU" else sigmoid(np.dot(weight0, output0) + bias0)

将三层的前行传递函数串联将构成前向传递函数

def forward(input, weight0, bias0, weight1, bias1, weight2, bias2, active_mode)

前向传递函数参数讲解

input：为模型输入，在本项目中为，4*4转换为16*1的数据，所以input.shape因该为(16, 1)

input = input.reshape(-1, 1)  #将4x4矩阵展开为16x1列向量
print(input.shape)

• weight0：为第一层隐藏层的输入权重，大小为num_hidden_layer0 * input.shape[0]为(16*16)的二维矩阵

初始化用np.random.randn(num_hidden_layer0, input.shape[0])生成。=注意.randn和.rand区别=

• bias0：为第一层隐藏层的输入偏执，大小为num_hidden_layer0 * 1为16*1

初始化用np.random.randn(num_hidden_layer0 , 1)生成

同理其他参数。

反向传播函数

我们采用预测输出output与我们给定的target（img）进行对比，做均方误差。我们的目标是最小化均方误差 (MSE)。
$$MSE=\frac{{\sum }_{i=0}^n(outpu{t}_i^N-im{g}_i{)}^2}{n+1}$$
$img$为目标值（实际值），$output$为模型预测值,因为$output$为第N层输出所以$output=outpu{t}^N$

所以首先对每个预测值$outpu{t}_i^N$ 计算均方误差 $MSE$ 对$outpu{t}_i^N$的导数
d_output_layer = 均方误差（$MSE$）对模型的预测输出$outpu{t}_i^N$的导数
$$MS{E}^{\prime }=\sum _{i=0}^n\frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{outpu{t}_i^N}}=\sum _{i=0}^{n}2\ast \frac{outpu{t}_i^N-im{g}_i}{n+1}$$
又因为在神经节点中
$$outpu{t}_i^N=sigmoid(\sum _{i=0}^n(outpu{t}_i^{N-1}\ast W_i)+b)$$
所以
$$\begin{gathered} \frac{{\partial }_{outpu{t}^N}}{{\mathrm{d}}_{W_i}}=\frac{{\mathrm{d}}_{outpu{t}^N}}{{\mathrm{d}}_{\{}{\sum }_{i=0}^n(outpu{t}_i^{N-1}\ast W_i)+b\}}\ast \frac{{\mathrm{d}}_{\{}{\sum }_{i=0}^n(outpu{t}_i^{N-1}\ast W_i)+b\}}{W_i} \\ 其中：\frac{{\mathrm{d}}_{outpu{t}^N}}{{\mathrm{d}}_{\{}{\sum }_{i=0}^n(outpu{t}_i^{N-1}\ast W_i)+b\}}=激活函数的导数 \\ \frac{{\mathrm{d}}_{\{}{\sum }_{i=0}^n(outpu{t}_i^{N-1}\ast W_i)+b\}}{W_i}=outpu{t}_i^{N-1} \end{gathered}$$
又因为
$$\begin{gathered} Y=Sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} \\ {Y}^{\prime }=Y\ast (1-Y) \end{gathered}$$
所以
$$\frac{{\partial }_{outpu{t}^N}}{{\mathrm{d}}_{W_i}}=激活函数的导数\ast outpu{t}_i^{N-1}=outpu{t}^N\ast (1-outpu{t}^N)\ast outpu{t}_i^{N-1}$$
同理
$$\frac{{\partial }_{outpu{t}^N}}{{\mathrm{d}}_b}=激活函数的导数\ast 1=outpu{t}^N\ast (1-outpu{t}^N)\ast 1$$
所以可知均方误差 $MSE$ 对最后一层的输入权重$W_i$和$b$的导数为：
$$\begin{gathered} \frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{W_i}}=\frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{outpu{t}_i^N}}\ast \frac{{\partial }_{outpu{t}_i^N}}{{\mathrm{d}}_{W_j}}=2\ast \frac{outpu{t}_i^N-im{g}_i}{n+1}\ast outpu{t}_i^N\ast (1-outpu{t}_i^N)\ast outpu{t}_j^{N-1} \\ \frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_b}=\frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{outpu{t}_i^N}}\ast \frac{{\partial }_{outpu{t}_i^N}}{{\mathrm{d}}_b}=2\ast \frac{outpu{t}_i^N-im{g}_i}{n+1}\ast outpu{t}_i^N\ast (1-outpu{t}_i^N)\ast 1 \end{gathered}$$
根据我们所计算的$MSE$和对输入权重$W_i$和$b$的导数，我们可以计算出输入权重$W_i$和$b$在$MSE$减小方向上的梯度$gra{d}_{w}eight$和$gra{d}_{b}ias$。
然后结合学习率$learnin{g}_{r}ate$对输入权重$W_i$和$b$进行修正

 # 使用梯度下降法更新输出层的权重和偏置
    weight -= learning_rate * grad_weight  # 更新输出层的权重
    bias -= learning_rate * grad_bias  # 更新输出层的偏置

又因为由上面可知，对于每一层 Sigmoid的反向传递函数
$$\begin{gathered} \frac{{\partial }_{outpu{t}^N}}{{\mathrm{d}}_{W_i^N}}=outpu{t}^N\ast (1-outpu{t}^N)\ast outpu{t}_i^{N-1} \\ \frac{{\partial }_{outpu{t}^N}}{{\mathrm{d}}_{b^N}}=outpu{t}^N\ast (1-outpu{t}^N)\ast 1 \end{gathered}$$
根据求导的链式法则

均方误差 $MSE$ 对倒数第二层的输入权重$W_i^{N-1}$和$ b^{N-1} $的导数为
$$\begin{gathered} \frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{W_i^{N-1}}}=W^N\ast \frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{outpu{t}_i^N}}\ast 激活函数的导{数}^N\ast \frac{{\partial }_{outpu{t}_i^{N-2}}}{{\mathrm{d}}_{W_j^{N-1}}} \\ =W^N\ast \frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{outpu{t}_i^N}}\ast 激活函数的导{数}^N\ast 激活函数的导{数}^{N-1}\ast outpu{t}_j^{N-2} \\ \frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{b^{N-1}}}=W^N\ast \frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{outpu{t}_i^N}}\ast 激活函数的导{数}^N\ast \frac{{\partial }_{outpu{t}_i^{N-2}}}{{\mathrm{d}}_{b^{N-1}}} \\ =W^N\ast \frac{{\partial }_{MSE}}{{\mathrm{d}}_{outpu{t}_i^N}}\ast 激活函数的导{数}^N\ast 激活函数的导{数}^{N-1}\ast 1 \\ 其中激活函{数}^N=outpu{t}^N\ast (1-outpu{t}^N) \end{gathered}$$
均方误差 $MSE$ 对倒数第三层同理,在一层基础上修改

最后希望各位大佬多多提出建议，轻点踩。