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实验五 用matlab求解常微分方程

1．微分方程的概念

未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为

F(t,y,y',y\,?,y(n))?0

如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为

y(n)?a1(t)y(n?1)???an?1(t)y'?an(t)y?b(t)

若上式中的系数

ai(t),i?1,2,?,n均与t无关，称之为常系数。

dy 2．常微分方程的解析解

有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程dtdyy?1?dty?ce?1t?y?1可化为

,两边积分可得通解为.其中c为任意常数.有些常微分方程可用一些

技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.

线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。

一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n阶方程

y(n)?f(t,y',y\,?,y(n?1))

设

，可将上式化为一阶方程组 ?y1'?y2?y'?y3?2????y'?yn?n?1??yn'?f(t,y1,y2,?,yn)

反过来，在许多情况下，一