利用 Python 和 scikit - learn 进行分层抽样

利用 Python 和 scikit-learn 进行分层抽样

关键词：分层抽样、scikit-learn、Python、数据采样、机器学习、数据预处理、统计学

摘要：本文深入探讨了分层抽样在数据科学和机器学习中的应用。我们将从统计学基础出发，详细讲解分层抽样的原理、优势以及实现方法。通过Python和scikit-learn库的实际代码示例，展示如何在不同场景下应用分层抽样技术。文章还涵盖了分层抽样的数学模型、实际应用案例以及常见问题的解决方案，为读者提供全面的分层抽样知识体系。

1. 背景介绍

1.1 目的和范围

分层抽样是一种重要的数据采样技术，广泛应用于统计学、机器学习、市场调研等领域。本文旨在全面介绍分层抽样的概念、原理和实现方法，特别是如何使用Python和scikit-learn库进行高效的分层抽样操作。

1.2 预期读者

本文适合以下读者：

• 数据科学家和机器学习工程师
• 统计学研究人员
• 数据分析师
• 对数据采样技术感兴趣的Python开发者
• 需要进行数据预处理的研究人员

1.3 文档结构概述

文章首先介绍分层抽样的基本概念和原理，然后深入探讨其数学基础和算法实现。接着通过实际代码示例展示具体应用，最后讨论相关工具、资源和未来发展方向。

1.4 术语表

1.4.1 核心术语定义

• 分层抽样(Stratified Sampling): 将总体分成若干个互不重叠的子群体(称为"层")，然后从每个子群体中独立地进行抽样。
• 层(Stratum): 总体中具有相似特征的子群体。
• 比例分配(Proportional Allocation): 各层样本量与层大小的比例相同。
• 最优分配(Optimal Allocation): 考虑层内变异性的分配方法。

1.4.2 相关概念解释

• 简单随机抽样(Simple Random Sampling): 从总体中不加任何限制地随机抽取样本。
• 系统抽样(Systematic Sampling): 按一定规则(如每隔k个单位)从总体中抽取样本。
• 整群抽样(Cluster Sampling): 将总体分成若干群组，然后随机抽取若干群组作为样本。

1.4.3 缩略词列表

• SRS: Simple Random Sampling (简单随机抽样)
• SS: Stratified Sampling (分层抽样)
• CS: Cluster Sampling (整群抽样)

2. 核心概念与联系

分层抽样的核心思想是将总体划分为若干个同质的子群体(层)，然后在每个层内进行抽样。这种方法能够确保样本更好地代表总体结构，特别是当总体中存在明显的子群体时。

总体

分层标准选择

层1

层2

...

层N

层1抽样

层2抽样

...

层N抽样

最终样本

分层抽样与简单随机抽样的主要区别在于：

1. 分层抽样先划分层，再在各层内抽样
2. 简单随机抽样直接从总体中抽取，不考虑任何子群体结构

分层抽样的优势：

• 提高估计精度(特别是层内同质性强时)
• 确保每个子群体都有代表
• 允许对不同层采用不同的抽样方法
• 便于分层分析

3. 核心算法原理 & 具体操作步骤

3.1 分层抽样基本步骤

1. 确定分层变量
2. 将总体划分为若干层
3. 决定各层的样本量分配方法
4. 在各层内进行抽样
5. 合并各层样本形成最终样本

3.2 scikit-learn中的分层抽样实现

scikit-learn提供了StratifiedShuffleSplit和train_test_split(带有stratify参数)来实现分层抽样。

3.2.1 使用train_test_split进行分层抽样

from sklearn.model_selection import train_test_split

# 假设X是特征矩阵，y是目标变量
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    X, y,
    test_size=0.2,
    stratify=y,  # 按y的分布进行分层
    random_state=42
)

3.2.2 使用StratifiedShuffleSplit进行多次分层抽样

from sklearn.model_selection import StratifiedShuffleSplit

sss = StratifiedShuffleSplit(n_splits=5, test_size=0.2, random_state=42)

for train_index, test_index in sss.split(X, y):
    X_train, X_test = X[train_index], X[test_index]
    y_train, y_test = y[train_index], y[test_index]
    # 进行模型训练和评估

3.3 自定义分层抽样函数

对于更复杂的分层需求，可以自定义分层抽样函数：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.utils import check_random_state

def stratified_sample(df, strata, size=None, seed=None):
    # 参数检查
    if not isinstance(df, pd.DataFrame):
        raise TypeError("df必须是pandas DataFrame")

    if not isinstance(strata, (list, tuple, np.ndarray, pd.Series)):
        raise TypeError("strata必须是列表、元组、numpy数组或pandas Series")

    if size is not None and not isinstance(size, (int, float)):
        raise TypeError("size必须是整数或浮点数")

    # 设置随机种子
    random_state = check_random_state(seed)

    # 计算各层大小
    strata_counts = df[strata].value_counts()

    # 确定样本量
    if size is None:
        # 默认按比例抽样
        sample_counts = strata_counts
    elif isinstance(size, float) and 0 < size < 1:
        # 按比例抽样
        sample_counts = (strata_counts * size).round().astype(int)
    elif isinstance(size, int):
        # 固定样本量，按比例分配
        proportions = strata_counts / strata_counts.sum()
        sample_counts = (proportions * size).round().astype(int)
    else:
        raise ValueError("size必须是(0,1)之间的浮点数或正整数")

    # 进行分层抽样
    samples = []
    for stratum, count in sample_counts.iteritems():
        stratum_df = df[df[strata] == stratum]
        if len(stratum_df) > count:
            sample = stratum_df.sample(count, random_state=random_state)
        else:
            sample = stratum_df.copy()
        samples.append(sample)

    # 合并样本
    sample_df = pd.concat(samples)

    return sample_df

4. 数学模型和公式 & 详细讲解 & 举例说明

4.1 分层抽样估计量

总体均值$\mu$的分层估计量为：

$${\hat{\mu }}_{st}=\sum _{h=1}^L{W}_h{\bar{y}}_h$$

其中：

• $L$是层数
• $W_h=N_h/N$是第$h$层的权重($N_h$是第$h$层的大小，$N$是总体大小)
• ${\bar{y}}_h$是第$h$层的样本均值

4.2 分层抽样方差

分层抽样估计量的方差为：

$$V({\hat{\mu }}_{st})=\sum _{h=1}^L{W}_h^2\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{S_h^2}{n_h}$$

其中：

• $n_h$是第$h$层的样本量
• $S_h^2$是第$h$层的总体方差

4.3 样本量分配方法

4.3.1 比例分配

$$n_h=n\times \frac{N_h}{N}$$

4.3.2 内曼分配(最优分配)

考虑层内变异性和抽样成本：

$$n_h=n\times \frac{W_h{S}_h}{{\sum }_{h=1}^L{W}_h{S}_h}$$

4.4 示例计算

假设一个总体分为3层，各层信息如下：

层(h)	层大小(N_h)	层均值(μ_h)	层标准差(σ_h)
1	1000	50	10
2	2000	60	15
3	3000	70	20

总样本量n=600，计算比例分配和内曼分配的样本量：

比例分配：
$$\begin{gathered} n_1=600\times \frac{1000}{6000}=100 \\ {n}_2=600\times \frac{2000}{6000}=200 \\ {n}_3=600\times \frac{3000}{6000}=300 \end{gathered}$$

内曼分配：
首先计算$W_h{S}_h$：
$$\begin{gathered} W_1{S}_1=\frac{1000}{6000}\times 10\approx 1.6667 \\ {W}_2{S}_2=\frac{2000}{6000}\times 15=5 \\ {W}_3{S}_3=\frac{3000}{6000}\times 20=10 \\ \sum W_h{S}_h\approx 16.6667 \end{gathered}$$

然后计算各层样本量：
$$\begin{gathered} n_1=600\times \frac{1.6667}{16.6667}\approx 60 \\ {n}_2=600\times \frac{5}{16.6667}\approx 180 \\ {n}_3=600\times \frac{10}{16.6667}\approx 360 \end{gathered}$$

5. 项目实战：代码实际案例和详细解释说明

5.1 开发环境搭建

推荐使用以下环境进行分层抽样实验：

• Python 3.8+
• Jupyter Notebook
• 必要库：pandas, numpy, scikit-learn, matplotlib

安装命令：

pip install pandas numpy scikit-learn matplotlib

5.2 源代码详细实现和代码解读

案例1：信用卡欺诈检测数据集的分层抽样

import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载数据
data = pd.read_csv('creditcard.csv')

# 查看类别分布
print(data['Class'].value_counts(normalize=True))

# 可视化类别分布
data['Class'].value_counts().plot(kind='bar')
plt.title('Class Distribution')
plt.show()

# 分层抽样
X = data.drop('Class', axis=1)
y = data['Class']

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    X, y,
    test_size=0.3,
    stratify=y,
    random_state=42
)

# 检查抽样后的分布
print("训练集分布:")
print(y_train.value_counts(normalize=True))
print("\n测试集分布:")
print(y_test.value_counts(normalize=True))

案例2：多变量分层抽样

import pandas as pd
import numpy as np

# 创建模拟数据
np.random.seed(42)
size = 1000
data = pd.DataFrame({
    'age': np.random.randint(18, 70, size),
    'income': np.random.normal(50000, 15000, size).astype(int),
    'education': np.random.choice(['High School', 'Bachelor', 'Master', 'PhD'], size),
    'target': np.random.choice([0, 1], size, p=[0.7, 0.3])
})

# 创建分层变量 - 结合年龄分段和教育程度
data['age_group'] = pd.cut(data['age'],
                          bins=[18, 30, 40, 50, 70],
                          labels=['18-29', '30-39', '40-49', '50+'])
data['strata'] = data['age_group'].astype(str) + "_" + data['education']

# 自定义分层抽样
def multifactor_stratified_sample(df, strata_cols, size=0.2, random_state=None):
    # 创建分层变量
    df['strata'] = df[strata_cols].apply(lambda x: '_'.join(x.astype(str)), axis=1)

    # 计算各层大小
    strata_counts = df['strata'].value_counts()

    # 确定样本量
    if isinstance(size, float) and 0 < size < 1:
        sample_counts = (strata_counts * size).round().astype(int)
    elif isinstance(size, int):
        proportions = strata_counts / strata_counts.sum()
        sample_counts = (proportions * size).round().astype(int)
    else:
        raise ValueError("size必须是(0,1)之间的浮点数或正整数")

    # 进行分层抽样
    samples = []
    for stratum, count in sample_counts.items():
        stratum_df = df[df['strata'] == stratum]
        if len(stratum_df) > count:
            sample = stratum_df.sample(count, random_state=random_state)
        else:
            sample = stratum_df.copy()
        samples.append(sample)

    # 合并样本并移除临时列
    sample_df = pd.concat(samples)
    sample_df = sample_df.drop('strata', axis=1)

    return sample_df

# 应用多因素分层抽样
sampled_data = multifactor_stratified_sample(
    data,
    strata_cols=['age_group', 'education'],
    size=0.3,
    random_state=42
)

# 检查抽样结果
print("原始数据分布:")
print(data[['age_group', 'education']].value_counts(normalize=True))
print("\n抽样后分布:")
print(sampled_data[['age_group', 'education']].value_counts(normalize=True))

5.3 代码解读与分析

1. 信用卡欺诈检测案例：

   • 展示了如何处理高度不平衡数据集
   • 使用train_test_split的stratify参数确保训练集和测试集保持相同的类别比例
   • 可视化帮助理解数据分布和抽样效果

2. 多变量分层抽样案例：

   • 展示了如何基于多个变量创建分层
   • 自定义函数multifactor_stratified_sample实现了灵活的多因素分层抽样
   • 使用pd.cut创建年龄分段，便于分层
   • 通过连接多个分层变量创建复合分层标准
   • 抽样后验证分布是否保持原始比例

6. 实际应用场景

分层抽样在以下场景中特别有用：

1. 不平衡分类问题：

   • 在欺诈检测、罕见疾病诊断等场景中，正样本极少
   • 分层抽样确保训练集和测试集都包含足够数量的正样本

2. 小总体中的子群体分析：

   • 当需要研究特定子群体(如特定年龄段、收入群体)时
   • 确保每个感兴趣的群体都有代表

3. 地理空间抽样：

   • 在环境监测、农业调查中，按地理区域分层
   • 确保不同地理区域都有样本代表

4. 市场调研：

   • 按消费者 demographics (年龄、性别、收入等)分层
   • 确保样本反映总体消费者结构

5. A/B测试：

   • 在网站或应用测试中，按用户特征分层
   • 减少实验组和对照组之间的偏差

6. 时间序列数据：

   • 按时间段(季节、月份等)分层
   • 确保样本覆盖不同时间段

7. 工具和资源推荐

7.1 学习资源推荐

7.1.1 书籍推荐

1. “Sampling: Design and Analysis” by Sharon L. Lohr
2. “Survey Sampling” by Leslie Kish
3. “Applied Survey Data Analysis” by Steven G. Heeringa 等

7.1.2 在线课程

1. Coursera: “Survey Data Collection and Analytics” (密歇根大学)
2. edX: “Data Science: Inference and Modeling” (哈佛大学)
3. Udemy: “Python for Data Science and Machine Learning Bootcamp”

7.1.3 技术博客和网站

1. Towards Data Science (Medium)
2. scikit-learn官方文档
3. StatsModels官方文档

7.2 开发工具框架推荐

7.2.1 IDE和编辑器

1. Jupyter Notebook/Lab
2. VS Code with Python插件
3. PyCharm

7.2.2 调试和性能分析工具

1. Python内置的pdb调试器
2. Py-Spy性能分析器
3. memory_profiler内存分析工具

7.2.3 相关框架和库

1. scikit-learn: 提供基本的分层抽样功能
2. pandas: 数据处理和分析
3. numpy: 数值计算
4. Dask: 大规模数据处理的并行计算
5. imbalanced-learn: 专门处理不平衡数据集的库

7.3 相关论文著作推荐

7.3.1 经典论文

1. Neyman, J. (1934). “On the two different aspects of the representative method”
2. Cochran, W. G. (1977). “Sampling Techniques”

7.3.2 最新研究成果

1. “Stratified Sampling for Feature Subspace Selection in Random Forests” (2021)
2. “Adaptive Stratified Sampling for Monte Carlo Integration” (2020)

7.3.3 应用案例分析

1. “Stratified Sampling for Biomarker Discovery” (生物信息学应用)
2. “Geospatial Stratified Sampling for Environmental Monitoring”

8. 总结：未来发展趋势与挑战

分层抽样作为一种经典抽样技术，在未来仍将发挥重要作用，但也面临新的挑战和发展机遇：

发展趋势：

1. 自动化分层：机器学习算法自动识别最优分层标准
2. 动态分层：适应数据流变化的动态分层策略
3. 高维数据分层：处理成百上千个分层变量的方法
4. 分布式实现：面向大数据的分布式分层抽样算法
5. 与深度学习结合：分层抽样在神经网络训练中的应用

挑战：

1. 分层变量选择：如何选择最有效的分层变量
2. 小层问题：如何处理样本量极小的层
3. 高计算成本：高维数据分层的计算效率问题
4. 概念漂移：数据分布随时间变化时的分层维护
5. 隐私保护：在分层抽样中保护敏感信息

未来，分层抽样技术将继续与机器学习、大数据技术深度融合，发展出更智能、更高效的变体，以满足日益复杂的数据分析需求。

9. 附录：常见问题与解答

Q1: 什么时候应该使用分层抽样而不是简单随机抽样？
A1: 当总体中存在明显的子群体结构，且这些子群体在目标变量上表现不同时，应该使用分层抽样。特别是当某些子群体占比很小时，分层抽样能确保它们有足够的代表。

Q2: 如何选择分层变量？
A2: 选择与目标变量相关性高的变量作为分层变量。可以通过探索性数据分析(EDA)或计算变量与目标的相关性来确定。

Q3: 分层抽样会导致过拟合吗？
A3: 正确实施的分层抽样不会导致过拟合。实际上，它能提高模型的泛化能力，特别是在不平衡数据集中。但要注意不要创建过多的层，导致某些层的样本量过小。

Q4: 如何处理某些层样本量过小的问题？
A4: 可以采取以下策略：

1. 合并相似的小层
2. 使用非比例分配，人为增加小层的样本量
3. 采用过采样技术(如SMOTE)补充小层样本

Q5: 分层抽样与交叉验证如何结合使用？
A5: 可以使用分层K折交叉验证(StratifiedKFold)，确保每一折都保持原始数据的类别分布。这在scikit-learn中很容易实现。

10. 扩展阅读 & 参考资料

1. scikit-learn官方文档: https://scikit-learn.org/stable/modules/cross_validation.html#stratified-k-fold
2. Pandas抽样文档: https://pandas.pydata.org/pandas-docs/stable/reference/api/pandas.DataFrame.sample.html
3. Lohr, S. L. (2010). Sampling: Design and Analysis. Brooks/Cole.
4. Neyman, J. (1934). On the two different aspects of the representative method. Journal of the Royal Statistical Society, 97(4), 558-625.
5. K. M. Ting (2002). An Instance-Weighting Method to Induce Cost-Sensitive Trees. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering.

通过本文的全面介绍，读者应该能够理解分层抽样的原理、掌握Python实现方法，并能在实际项目中合理应用这一技术。分层抽样是数据科学家工具箱中的重要工具，正确使用可以显著提高数据分析的质量和可靠性。