基于堆优化算法的柔性车间调度问题求解
基于堆优化算法的柔性车间调度问题求解
文章目录
- 基于堆优化算法的柔性车间调度问题求解
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- 1.1 约束条件
- 1.2约束条件
- 2.堆优化算法
- 3.实验案例及结果
- 4.Matlab代码
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摘要：本文主要介绍基于堆优化算法的柔性车间调度问题求解
## 1.柔性作业车间调度问题
柔性作业车间调度问题（Flexible Job Shop Scheduling Problem，FJSP），是一种经典的组合优化问题。在FJSP问题中，有多个作业需要在多个机器上进行加工，每个作业由一系列工序组成，每个工序需要在特定的机器上完成。同时，每个机器一次只能处理一个工序，且每个工序的处理时间可能不同。FJSP问题的目标是找到一个最优的作业调度方案，使得所有作业的完成时间最小化。这个问题的难点在于需要考虑到多个作业，多个机器和多个工序之间的复杂关系，并且需要在有限的时间内找到最优解。
柔性作业车间调度问题（ FJSP）的描述如下：n个工件 { J , J 2 , . . , J n } \left\{J, J_2, . ., J_n\right\} {J,J2,..,Jn} 要在 m m m 台机器 { M 1 , M 2 , . . , M m } \left\{M_1, M_2, . ., M_m\right\} {M1,M2,..,Mm} 上加工。每个工件包含一道或多道工序，工序顺序是预先确定的，每道工序可以在多台不同加工机器上进行加工，工序的加工时间随加工机器的不同而不同。调度目标是为每道工序选择最合适的机器，确定每台机器上各个工序的最佳加工顺序以及开工时间，使整个系统的某些性能指标达到最优。因此，柔性作业车间调度问题包含两个子问题：确定各工件的加工机器（机器选择子问题）和确定各个机器上的加工先后顺序（工序排序子问题）。
此外，在加工过程中还需要满足下面的约束条件 Q ：
（1）同一台机器同一时刻只能加工一个工件；
（2）同一工件的同一道工序在同一时刻只能被一台机器加工；
（3）每个工件的每道工序一旦开始加工不能中断；
（4）不同工件之间具有相同的优先级；
（5）不同工件的工序之间没有先后约束，同一工件的工序之间有先后约束；
（6）所有工件在零时刻都可以被加工。
1.1 约束条件
C 1 : s j h + x i j h × p i j h ≤ c j h C_1: s_{j h}+x_{i j h} \times p_{i j h} \leq c_{j h} C1:sjh+xijh×pijh≤cjh
其中： i = 1 , … , m ; j = 1 , … , n ; h = 1 , … , h j i=1, \ldots, m ; j=1, \ldots, n ; h=1, \ldots, h_j i=1,…,m;j=1,…,n;h=1,…,hj
C 2 : c j h ≤ s j ( h + 1 ) C_2: c_{j h} \leq s_{j(h+1)} C2:cjh≤sj(h+1)
其中： j = 1 , … , n ; h = 1 , … , h j − 1 j=1, \ldots, n ; h=1, \ldots, h_j-1 j=1,…,n;h=1,…,hj−1
C 3 : c j h j ≤ C max C_3: c_{j h_j} \leq C_{\max } C3:cjhj≤Cmax
其中： j = 1 , … , n j=1, \ldots, n j=1,…,n
C 4 : s j h + p i j h ≤ s k l + L ( 1 − y i j h k l ) C_4: s_{j h}+p_{i j h} \leq s_{k l}+L\left(1-y_{i j h k l}\right) C4:sjh+pijh≤skl+L(1−yijhkl)
其中： j = 0 , … , n ; k = 1 , … , n ; h = 1 , … , h j ; l = 1 , … , h k ; i = 1 , … , m j=0, \ldots, n ; k=1, \ldots, n ; h=1, \ldots, h_j ; l=1, \ldots, h_k ; i=1, \ldots, m j=0,…,n;k=1,…,n;h=1,…,hj;l=1,…,hk;i=1,…,m
C 5 : c j h ≤ s j ( h + 1 ) + L ( 1 − y i k l j ( h + 1 ) ) C_5: c_{j h} \leq s_{j(h+1)}+L\left(1-y_{i k l j(h+1)}\right) C5:cjh≤sj(h+1)+L(1−yiklj(h+1))
其中： j = 1 , … , n ; k = 0 , … , n ; h = 1 , … , h j − 1 ; l = 1 , … , h k ; i = 1 , … , m j=1, \ldots, n ; k=0, \ldots, n ; h=1, \ldots, h_j-1 ; \quad l=1, \ldots, h_k ; \quad i=1, \ldots, m j=1,…,n;k=0,…,n;h=1,…,hj−1;l=1,…,hk;i=1,…,m h 1 : ∑ i = 1 m j h x i j h = 1 h_1: \sum_{i=1}^{m_{j h}} x_{i j h}=1 h1:∑i=1mjhxijh=1
其中： h = 1 , … , h j ; j = 1 , … , n h=1, \ldots, h_j ; j=1, \ldots, n h=1,…,hj;j=1,…,n ；
h 2 : ∑ j = 1 n ∑ h = 1 h j y i j h k l = x i k l h_2: \sum_{j=1}^n \sum_{h=1}^{h_j} y_{i j h k l}=x_{i k l} h2:j=1∑nh=1∑hjyijhkl=xikl
其中： i = 1 , … , m ; k = 1 , … , n ; l = 1 , … , h k i=1, \ldots, m ; k=1, \ldots, n ; l=1, \ldots, h_k i=1,…,m;k=1,…,n;l=1,…,hk
h 3 : ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n k y i j h k l = x i j h h_3: \sum_{i=1}^n \sum_{i=1}^{n_k} y_{i j h k l}=x_{i j h} h3:i=1∑ni=1∑nkyijhkl=xijh
其中： i = 1 , … , m ; j = 1 , … , n ; h = 1 , … , h k i=1, \ldots, m ; j=1, \ldots, n ; \quad h=1, \ldots, h_k i=1,…,m;j=1,…,n;h=1,…,hk
C 6 : s j h ≥ 0 , c j h ≥ 0 C_6: s_{j h} \geq 0, c_{j h} \geq 0 C6:sjh≥0,cjh≥0
其中： j = 0 , 1 , … , n ; h = 1 , … , h j j=0,1, \ldots, n ; h=1, \ldots, h_j j=0,1,…,n;h=1,…,hj
C 1 C_1 C1 和 C 2 C_2 C2 表示每一个工件的工序先后顺序约束；
C 3 C_3 C3 表示工件的完工时间的约束，即每一个工件的完工时间不可能超过总的完工时间；
C 4 C_4 C4 和 C 5 C_5 C5 表示同一时刻同一台机器只能加工一道工序；
h 1 h_1 h1 表示机器约束，即同一时刻同一道工序只能且仅能被一台机器加工；
h 2 h_2 h2 和 h 3 h_3 h3 表示存在每一台机器上可以存在循环操作；
C 6 C_6 C6 表示各个参数变量必须是正数。
n n n ：工件总数；
m m m ：机器总数；
i , e i, e i,e ：机器序号， i , e = 1 , 2 , 3 , … , m i, e=1,2,3, \ldots, m i,e=1,2,3,…,m ；
j , k : j, k: j,k: 工件序号， j , k = 1 , 2 , 3 , … , n ; h j j, k=1,2,3, \ldots, n ; h_j j,k=1,2,3,…,n;hj ：工件 j j j 的工序总数；
h , l : h, l: h,l: 工序序号， h = 1 , 2 , 3 , … , h j h=1,2,3, \ldots, h_j h=1,2,3,…,hj ；
Ω j h \Omega_{j h} Ωjh ：工件 j j j 的第 h h h 道工序的可选加工机器集；
m j h m_{j h} mjh ：工件 j j j 的第 h h h 道工序的可选加工机器数；
O j h O_{j h} Ojh ：工件 j j j 的第 h h h 道工序；
M i j h M_{i j h} Mijh ：工件 j j j 的第 h h h 道工序在机器 i i i 上加工；
p i j h p_{i j h} pijh ：工件 j j j 的第 h h h 道工序在机器 i i i 上的加工时间；
s j h s_{j h} sjh ：工件 j j j 的第 h h h 道工序加工开始时间；
c j h c_{j h} cjh ：工件 j j j 的第 h h h 道工序加工完成时间；
d j d_j dj ：工件 j j j 的交货期；
L L L ：一个足够大的正数；
C j C_j Cj ：每个工件的完成时间；
C max C_{\text {max }} Cmax ：最大完工时间；
T o : T o = ∑ j = 1 n h j T_o: T_o=\sum_{j=1}^n h_j To:To=∑j=1nhj ，所有工件工序总数；
x i j h = { 1 , 如果工序 O j h 选择机器 i ; 0 , 否则； x_{i j h}=\left\{\begin{array}{l}1, \text { 如果工序 } O_{j h} \text { 选择机器 } i ; \\ 0, \text { 否则；}\end{array}\right. xijh={1, 如果工序 Ojh 选择机器 i;0, 否则；
y i j h k l = { 1 , 如果 O i j h 先于 O i k l 加工； 0 , 否则； y_{i j h k l}=\left\{\begin{array}{l}1, \text { 如果 } O_{i j h} \text { 先于 } O_{i k l} \text { 加工；} \\ 0, \text { 否则；}\end{array}\right. yijhkl={1, 如果 Oijh 先于 Oikl 加工；0, 否则；
1.2约束条件
FJSP的目标函数是最大完工时间最小。完工时间是每个工件最后一道工序完成的时间，其中最大的那个时间就是最大完工时间 （makespan）。它是衡量调度方案的最根本指标，主要体现车间的生产效率，如下式所示：
f = min ( max 1 ≤ j ≤ n ( C j ) ) f=\min \left(\max _{1 \leq j \leq n}\left(C_j\right)\right) f=min(1≤j≤nmax(Cj))
2.堆优化算法
堆优化算法原理请参考：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/121930908
3.实验案例及结果
本文采用Brandimarte 数据集进行测试
Brandimarte 数据集是柔性作业车间调度问题（FJSP）中的一个经典数据集，用于研究和测试各种调度算法。该数据集包含了多个工件和机器的调度信息，旨在优化生产线上的任务顺序，以达到最小化完成时间、最大化效率或最小化成本等目标。Brandimarte 数据集的格式如下：第一行包含至少两个数字：第一个数字表示工件数，第二个数字表示机器数，第三个数字表示每道工序平均可有几台机器加工。接下来的每一行表示一个工件的各工序可用机器情况。
