P1216 [USACO1.5][IOI1994]数字三角形 Number Triangles

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

        7 
      3   8 
    8   1   0 
  2   7   4   4 
4   5   2   6   5 

在上面的样例中,从 7 ->3 -> 8 -> 7 -> 5 的路径产生了最大

输入格式

第一个行一个正整数 r ,表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

样例 #1

样例输入 #1

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

样例输出 #1

30

提示

【数据范围】

对于 100% 的数据，1 <= r <= 1000，所有输入在 [0,100] 范围内。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

IOI1994 Day1T1

思路

这是我自学动态规划的第一道经典例题（虽然我还是不知道他是线性DP还是区间DP），下面我为大家讲讲我的思路吧！

如何发现动态转移方程

发现动态转移方程的关键在于——找规律与对比。

首先这道题是让我们求一个道路的和最大，那么显然我们可以使用贪心来尝试。

但是使用贪心算法有个漏洞，就是当前方案眼光短浅，不一定是最优方案。就比如题目举出的例子，使用贪心线路如下：

7->8->1->7->5=28

这显然不是最优解。

这时候就该祭出我们的秘诀了：递归思考，递归解决！

首先我们使用递归思考，可以推出公式：

那么使用递归解决的dfs函数就能打出来了：

递归dfs解决问题

int dfs(int x,int y)
{
    if(x>n||y>n)return 0;
    if(dp[x][y])return dp[x][y];
    dp[x][y]=a[x][y];
    int t1=dfs(x+1,y);
    int t2=dfs(x+1,y+1);
    return dp[x][y]+=max(t1,t2);
}

这里使用记忆化搜索可以减少时间复杂度。

递归dfs代码实现

#include
using namespace std;
const int N=1005;
int a[N][N];
int dp[N][N];
int n;
int dfs(int x,int y)
{
    if(x>n||y>n)return 0;
    if(dp[x][y])return dp[x][y];
    dp[x][y]=a[x][y];
    int t1=dfs(x+1,y);
    int t2=dfs(x+1,y+1);
    return dp[x][y]+=max(t1,t2);
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    cout<

别急，这样写还是会超时，因为当n太大是就会超时。

那么该如何写呢？

递推解决问题

使用递推解决问题往往比递归的时间复杂度要低，因为递归会有概率将同一个部分的值算多次，而递推只用算一次就足够了。那怎么写递推呢？就是将递归的思路反过来即可。

递推解决问题代码实现

for(int i=n;i>=1;i--)
{
    for(int j=1;j<=i;j++)
    {
        dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];
     }
}

从最低端往上推，最后输出dp的第一行第一列的值即为正确答案。

递推解决问题完整代码

#include
using namespace std;
const int N=1005;
int a[N][N];
int dp[N][N];
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    //DP
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];
        }
    }
    cout<

这样就能完美AC啦！

后记

第一次写关于动态规划的题解，点个赞吧！