巴什博弈（P4101 [HEOI2014] 人人尽说江南好

今天在洛谷随机跳题，跳到了这道八什博弈题，我感觉蛮好的，来写一篇题解。

P4101 [HEOI2014] 人人尽说江南好

题目大意：有 n 堆石子，每次可以将两堆石子合并成一堆，但合并后的石子数量不能超过m，最后无法合并石子失败，问先手是否必胜。

首先，如果没有m的限制的话，操作次数为 n-1 次，当 n 为偶数时，先手必胜。但是加入了 m 的这个限制，就需要有所改变了，当 n <= m 时，m的限制不存在，像上面的求解过程就行了，如果 n > m 的话，就要考虑 m 的限制了。

我们可以让整个的博弈过程尽可能的长，及两个人都很聪明，都会选择对自己有利的方式，那么当最长的操作是必胜局面时，无论后手怎么操作，先手都会把局面重新变为必胜局面，反之亦然。而要想整个的操作次数最大，则每堆的都要尽可能的堆满m个。

先说结论，最终的操作次数为 ans=n-1-n/m+(n%m==0); 当 ans 为奇数时，先手必胜。

下面讲讲操作次数为什么是这个公式，n-1 为不考虑 m 的总操作次数，n/m为多出来没有合并的堆，多出几个就代表操作次数减少多少个，当 m|n 时，就要增加一个状态，因为剪掉的操作次数是多出来的一堆，当 m|n 时，多出来的一堆为 n/m -1。

那么就会有个问题了，既然使得最大操作次数的办法是使每堆都尽可能的达到 m 堆，那如何才能让对手无论怎么弄都能达到 m 堆呢？

假设 n 足够的大，且该局面是先手必胜的：

1，m为偶数，先手先将两个 1 合并为 2（下面称该堆为大堆） ，后手只有两个选择，将 1 放入那个大堆，或者也将两个 1 合并为 2 ，如果是前者，那么先手只需要将一个 1 合并到大堆即可，如果是后者，那么只需要将那个 2 合并到大堆即可，可知，大堆的石子个数一定是成偶数倍增加的，及一定能组成大堆。

当组成为一个大堆时，就到了后手组大堆，而后手要想使得不让“每堆尽可能的堆成 m 个”，那么只能将两个 1 合并为 2 ，此时先手在第一次时，将 1 合并到大堆中，后续每次都将后手合并的 2 合并到大堆中，到大堆达到 m-1 个时，再将1合并过去，后面以此类推，都是能合并为大堆的。

2，m 为奇数，则要将大堆的个数维持在先手为奇数的情况，及当大堆为偶数时，先手要主动合并 1 到大堆中，之后再将后手创建的 2 合并到大堆中，当大堆为奇数堆时，则要将已有的偶数堆合并进去，或者创建偶数堆。

如果该局面是先手必败的话，那么后手可以仿照上面的方法，使得每个堆的数量都尽可能的达到 m 个，代码如下

#include
using namespace std;
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
signed main(){
    ios;
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        if((n-1+n/m+(n%m==0))&1)cout<<0<

博弈论通常都是代码简单，但是推理思路困难，这类题对于思路的提升还是蛮好的。