【Algorithm】Segment Tree 简单介绍
文章目录
- Segment Tree
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- 1 基本概念
- 2 基本思想
- 3 适用场景
- 4 代码示例（区间求和）
- 5 使用示例
- 6 使用注意事项
- 7 进阶拓展
Segment Tree
线段树（Segment Tree）是一种高级数据结构，主要用于在区间范围内高效地进行查询与修改操作。它是一个二叉树结构，每个节点代表一个区间的信息，通常用于解决如下问题：
1 基本概念
线段树是对一个区间 [l, r] 上的数列进行划分，并在每个子区间上维护某种信息（如最值、和、最大公约数等）。
- 节点表示一个区间
- 根节点表示整个区间
- 每个节点的两个子节点分别表示当前区间的左右子区间
2 基本思想
构建线段树是将区间不断对半划分，直到区间中只包含一个元素。每个节点保存其所代表区间的值（如区间和、最大值、最小值等）。
- 建树复杂度：
O(n) - 单点更新复杂度：
O(log n) - 区间查询复杂度：
O(log n) - 区间修改（懒标记）：
O(log n)
3 适用场景
线段树适用于以下问题：
| 场景 | 描述 |
|---|---|
| 区间求和 | 查询某个区间内所有元素的和 |
| 区间最值 | 查询某个区间内最大值或最小值 |
| 区间更新 | 给某个区间内所有元素加/减某个值 |
| 区间 GCD | 查询某区间所有元素的最大公约数 |
| 动态维护序列统计信息 | 在元素更新的同时仍能高效查询 |
4 代码示例（区间求和）
- C++版本：
#include - python 版本
class SegmentTree:
def __init__(self, nums):
self.n = len(nums)
self.tree = [0] * (4 * self.n) # 开4倍空间
self._build(nums, 0, 0, self.n - 1)
def _build(self, nums, node, l, r):
if l == r:
self.tree[node] = nums[l]
else:
mid = (l + r) // 2
self._build(nums, 2 * node + 1, l, mid)
self._build(nums, 2 * node + 2, mid + 1, r)
self.tree[node] = self.tree[2 * node + 1] + self.tree[2 * node + 2]
def update(self, index, value, node=0, l=0, r=None):
if r is None:
r = self.n - 1
if l == r:
self.tree[node] = value
else:
mid = (l + r) // 2
if index <= mid:
self.update(index, value, 2 * node + 1, l, mid)
else:
self.update(index, value, 2 * node + 2, mid + 1, r)
self.tree[node] = self.tree[2 * node + 1] + self.tree[2 * node + 2]
def query(self, ql, qr, node=0, l=0, r=None):
if r is None:
r = self.n - 1
if qr < l or ql > r:
return 0 # 无交集
if ql <= l and r <= qr:
return self.tree[node] # 完全包含
mid = (l + r) // 2
left_sum = self.query(ql, qr, 2 * node + 1, l, mid)
right_sum = self.query(ql, qr, 2 * node + 2, mid + 1, r)
return left_sum + right_sum
5 使用示例
- C++版本
int main() {
vector<int> nums = {1, 3, 5, 7, 9, 11};
SegmentTree seg(nums);
cout << "区间 [1, 3] 的和: " << seg.query(1, 3) << endl; // 输出 15
seg.update(1, 10); // 将 nums[1] 改为 10
cout << "更新后区间 [1, 3] 的和: " << seg.query(1, 3) << endl; // 输出 22
return 0;
}
- python版本
nums = [1, 3, 5, 7, 9, 11]
seg = SegmentTree(nums)
print(seg.query(1, 3)) # 输出：15（3 + 5 + 7）
seg.update(1, 10)
print(seg.query(1, 3)) # 输出：22（10 + 5 + 7）
6 使用注意事项
- 空间消耗大：为了避免越界，需要预分配约 4 倍原始数组大小的空间。
- 边界细节多：区间划分时容易出错，如
(l + r) // 2、递归终止条件。 - 懒标记复杂度高：当要进行区间修改时，引入懒惰标记（Lazy Propagation）会使实现变复杂。
- 更新频率高适合使用树状数组（Binary Indexed Tree）：如只支持前缀和。
7 进阶拓展
- 懒惰标记（Lazy Propagation）：支持区间更新，优化大量重复更新操作。
- 可持久化线段树：支持版本控制、历史查询。
- 线段树合并：用于合并多个线段树数据。
- 二维线段树：处理二维矩阵中的区间查询。