Python实例题：Python计算复变函数
目录
Python实例题
题目
代码实现
实现原理
复数运算：
函数可视化：
积分计算：
解析函数分析：
关键代码解析
1. 复数运算
2. 函数可视化
3. 积分计算
4. 解析函数分析
使用说明
安装依赖：
基本用法：
示例输出：
扩展建议
增强功能：
用户界面：
性能优化：
教学辅助：
Python实例题
题目
Python计算复变函数
代码实现
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import sympy as sp
from scipy import integrate
class ComplexAnalysis:
"""复变函数分析类，支持复数运算、复变函数可视化和积分计算"""
def __init__(self):
"""初始化分析器"""
self.z = sp.Symbol('z')
self.x = sp.Symbol('x')
self.y = sp.Symbol('y')
def complex_add(self, z1, z2):
"""
复数加法
参数:
z1: 第一个复数
z2: 第二个复数
返回:
complex: 复数和
"""
return z1 + z2
def complex_subtract(self, z1, z2):
"""
复数减法
参数:
z1: 第一个复数
z2: 第二个复数
返回:
complex: 复数差
"""
return z1 - z2
def complex_multiply(self, z1, z2):
"""
复数乘法
参数:
z1: 第一个复数
z2: 第二个复数
返回:
complex: 复数积
"""
return z1 * z2
def complex_divide(self, z1, z2):
"""
复数除法
参数:
z1: 被除数
z2: 除数
返回:
complex: 商
"""
if z2 == 0:
raise ValueError("除数不能为零")
return z1 / z2
def complex_pow(self, z, n):
"""
复数幂运算
参数:
z: 底数
n: 指数
返回:
complex: 幂结果
"""
return z ** n
def complex_exp(self, z):
"""
复指数函数
参数:
z: 复数
返回:
complex: e^z
"""
return np.exp(z)
def complex_log(self, z):
"""
复对数函数（主值）
参数:
z: 复数
返回:
complex: Log(z)
"""
return np.log(z)
def complex_sin(self, z):
"""
复正弦函数
参数:
z: 复数
返回:
complex: sin(z)
"""
return np.sin(z)
def complex_cos(self, z):
"""
复余弦函数
参数:
z: 复数
返回:
complex: cos(z)
"""
return np.cos(z)
def complex_tan(self, z):
"""
复正切函数
参数:
z: 复数
返回:
complex: tan(z)
"""
return np.tan(z)
def complex_sqrt(self, z):
"""
复平方根函数（主值）
参数:
z: 复数
返回:
complex: sqrt(z)
"""
return np.sqrt(z)
def modulus(self, z):
"""
复数模长
参数:
z: 复数
返回:
float: 模长
"""
return np.abs(z)
def argument(self, z):
"""
复数辐角（主值，范围(-π, π]）
参数:
z: 复数
返回:
float: 辐角
"""
return np.angle(z)
def polar_to_rectangular(self, r, theta):
"""
极坐标转直角坐标
参数:
r: 模长
theta: 辐角
返回:
complex: 对应的复数
"""
return r * (np.cos(theta) + 1j * np.sin(theta))
def rectangular_to_polar(self, z):
"""
直角坐标转极坐标
参数:
z: 复数
返回:
tuple: (模长, 辐角)
"""
return (self.modulus(z), self.argument(z))
def plot_complex_function(self, f, x_range=(-2, 2), y_range=(-2, 2), num_points=100):
"""
绘制复变函数的模长和相位
参数:
f: 复变函数（接受复数输入并返回复数输出）
x_range: x轴范围，默认为(-2, 2)
y_range: y轴范围，默认为(-2, 2)
num_points: 每个维度的采样点数，默认为100
"""
x = np.linspace(x_range[0], x_range[1], num_points)
y = np.linspace(y_range[0], y_range[1], num_points)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + 1j * Y
# 计算函数值
F = np.vectorize(f)(Z)
# 计算模长和相位
modulus = np.abs(F)
phase = np.angle(F)
# 创建图形
fig = plt.figure(figsize=(15, 10))
# 绘制模长的3D图
ax1 = fig.add_subplot(221, projection='3d')
surf1 = ax1.plot_surface(X, Y, modulus, cmap=cm.coolwarm,
linewidth=0, antialiased=True)
ax1.set_title('函数模长 |f(z)|')
ax1.set_xlabel('Re(z)')
ax1.set_ylabel('Im(z)')
ax1.set_zlabel('|f(z)|')
fig.colorbar(surf1, ax=ax1, shrink=0.5, aspect=5)
# 绘制相位的3D图
ax2 = fig.add_subplot(222, projection='3d')
surf2 = ax2.plot_surface(X, Y, phase, cmap=cm.hsv,
linewidth=0, antialiased=True)
ax2.set_title('函数相位 arg(f(z))')
ax2.set_xlabel('Re(z)')
ax2.set_ylabel('Im(z)')
ax2.set_zlabel('arg(f(z))')
fig.colorbar(surf2, ax=ax2, shrink=0.5, aspect=5)
# 绘制模长的等高线图
ax3 = fig.add_subplot(223)
contour1 = ax3.contourf(X, Y, modulus, 20, cmap=cm.coolwarm)
ax3.set_title('模长等高线图')
ax3.set_xlabel('Re(z)')
ax3.set_ylabel('Im(z)')
fig.colorbar(contour1, ax=ax3)
# 绘制相位的等高线图
ax4 = fig.add_subplot(224)
contour2 = ax4.contourf(X, Y, phase, 20, cmap=cm.hsv)
ax4.set_title('相位等高线图')
ax4.set_xlabel('Re(z)')
ax4.set_ylabel('Im(z)')
fig.colorbar(contour2, ax=ax4)
plt.tight_layout()
plt.show()
def complex_integral(self, f, a, b, num_points=1000):
"""
计算复变函数沿实轴的积分
参数:
f: 复变函数（接受复数输入并返回复数输出）
a: 积分下限（复数）
b: 积分上限（复数）
num_points: 积分采样点数，默认为1000
返回:
complex: 积分结果
"""
if not np.isreal(a) or not np.isreal(b):
raise ValueError("目前仅支持沿实轴的积分")
# 定义实值积分函数
def real_integrand(t):
return np.real(f(t))
def imag_integrand(t):
return np.imag(f(t))
# 计算实部和虚部的积分
real_integral, _ = integrate.quad(real_integrand, a, b)
imag_integral, _ = integrate.quad(imag_integrand, a, b)
return real_integral + 1j * imag_integral
def check_cauchy_riemann(self, u_expr, v_expr, x, y):
"""
检查柯西-黎曼方程是否满足
参数:
u_expr: 实部函数表达式（sympy表达式）
v_expr: 虚部函数表达式（sympy表达式）
x: sympy符号，表示实部变量
y: sympy符号，表示虚部变量
返回:
dict: 包含偏导数和柯西-黎曼方程检查结果的字典
"""
# 计算偏导数
du_dx = sp.diff(u_expr, x)
du_dy = sp.diff(u_expr, y)
dv_dx = sp.diff(v_expr, x)
dv_dy = sp.diff(v_expr, y)
# 检查柯西-黎曼方程
cr1 = sp.simplify(du_dx - dv_dy)
cr2 = sp.simplify(du_dy + dv_dx)
results = {
'∂u/∂x': du_dx,
'∂u/∂y': du_dy,
'∂v/∂x': dv_dx,
'∂v/∂y': dv_dy,
'柯西-黎曼方程1 (∂u/∂x = ∂v/∂y)': cr1 == 0,
'柯西-黎曼方程2 (∂u/∂y = -∂v/∂x)': cr2 == 0,
'是否解析': cr1 == 0 and cr2 == 0
}
return results
def taylor_series(self, f_expr, z0, n):
"""
计算函数在给定点的泰勒级数展开
参数:
f_expr: 函数表达式（sympy表达式）
z0: 展开点（复数或sympy符号）
n: 展开阶数
返回:
sympy表达式: 泰勒级数展开式
"""
z = sp.Symbol('z')
series = sp.series(f_expr, z, z0, n)
return series
def laurent_series(self, f_expr, z0, n, m):
"""
计算函数在给定点的洛朗级数展开
参数:
f_expr: 函数表达式（sympy表达式）
z0: 展开点（复数或sympy符号）
n: 正幂项的最高阶数
m: 负幂项的最高阶数
返回:
sympy表达式: 洛朗级数展开式
"""
z = sp.Symbol('z')
series = sp.laurent(f_expr, z, z0, n, m)
return series
# 示例使用
def example_usage():
analysis = ComplexAnalysis()
print("\n===== 复数运算示例 =====")
z1 = 3 + 4j
z2 = 1 - 2j
print(f"z1 = {z1}")
print(f"z2 = {z2}")
print(f"z1 + z2 = {analysis.complex_add(z1, z2)}")
print(f"z1 - z2 = {analysis.complex_subtract(z1, z2)}")
print(f"z1 * z2 = {analysis.complex_multiply(z1, z2)}")
print(f"z1 / z2 = {analysis.complex_divide(z1, z2)}")
print(f"z1^2 = {analysis.complex_pow(z1, 2)}")
print(f"|z1| = {analysis.modulus(z1)}")
print(f"arg(z1) = {analysis.argument(z1)} radians")
print(f"arg(z1) = {analysis.argument(z1) * 180/np.pi} degrees")
print("\n===== 复变函数示例 =====")
z = 1 + 1j
print(f"z = {z}")
print(f"e^z = {analysis.complex_exp(z)}")
print(f"log(z) = {analysis.complex_log(z)}")
print(f"sin(z) = {analysis.complex_sin(z)}")
print(f"cos(z) = {analysis.complex_cos(z)}")
print(f"sqrt(z) = {analysis.complex_sqrt(z)}")
print("\n===== 复变函数可视化示例 =====")
# 定义函数
def f(z):
return z**2
print("绘制 f(z) = z^2 的图像...")
analysis.plot_complex_function(f, x_range=(-2, 2), y_range=(-2, 2))
# 定义更复杂的函数
def g(z):
return 1/(z-1)
print("绘制 f(z) = 1/(z-1) 的图像...")
analysis.plot_complex_function(g, x_range=(-3, 3), y_range=(-3, 3))
print("\n===== 复积分示例 =====")
# 定义被积函数
def integrand(z):
return z**2
a = 0
b = 1
integral = analysis.complex_integral(integrand, a, b)
print(f"∫[0,1] z^2 dz = {integral}")
print(f"解析结果应为 1/3: {1/3}")
print("\n===== 柯西-黎曼方程示例 =====")
# 定义函数 f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = x^2-y^2 + 2xyi
x, y = sp.symbols('x y')
u = x**2 - y**2
v = 2 * x * y
results = analysis.check_cauchy_riemann(u, v, x, y)
for key, value in results.items():
print(f"{key}: {value}")
print("\n===== 泰勒级数展开示例 =====")
z = sp.Symbol('z')
f_expr = sp.exp(z)
z0 = 0
n = 5
series = analysis.taylor_series(f_expr, z0, n)
print(f"e^z 在 z={z0} 处的泰勒展开到 {n-1} 阶: {series}")
print("\n===== 洛朗级数展开示例 =====")
f_expr = 1/(z*(z-1))
z0 = 0
n = 3
m = 3
series = analysis.laurent_series(f_expr, z0, n, m)
print(f"1/(z(z-1)) 在 z={z0} 处的洛朗展开: {series}")
if __name__ == "__main__":
example_usage() 实现原理
这个复变函数计算工具基于以下技术实现：
-
复数运算：
- 实现基本的复数加减乘除和幂运算
- 提供指数、对数、三角函数等复变函数
- 支持极坐标和直角坐标之间的转换
-
函数可视化：
- 使用 Matplotlib 绘制复变函数的模长和相位
- 提供 3D 图和等高线图两种可视化方式
- 支持自定义绘图范围和精度
-
积分计算：
- 实现沿实轴的复积分计算
- 使用 SciPy 的数值积分功能
- 支持自定义积分路径和采样点数
-
解析函数分析：
- 使用 SymPy 进行符号计算
- 检查函数是否满足柯西 - 黎曼方程
- 计算函数的泰勒级数和洛朗级数展开
关键代码解析
1. 复数运算
def complex_multiply(self, z1, z2):
"""复数乘法"""
return z1 * z2
def complex_exp(self, z):
"""复指数函数"""
return np.exp(z)
def modulus(self, z):
"""复数模长"""
return np.abs(z)
2. 函数可视化
def plot_complex_function(self, f, x_range=(-2, 2), y_range=(-2, 2), num_points=100):
"""绘制复变函数的模长和相位"""
x = np.linspace(x_range[0], x_range[1], num_points)
y = np.linspace(y_range[0], y_range[1], num_points)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + 1j * Y
F = np.vectorize(f)(Z)
modulus = np.abs(F)
phase = np.angle(F)
# 创建图形
fig = plt.figure(figsize=(15, 10))
# 绘制模长的3D图
ax1 = fig.add_subplot(221, projection='3d')
surf1 = ax1.plot_surface(X, Y, modulus, cmap=cm.coolwarm)
ax1.set_title('函数模长 |f(z)|')
# 绘制相位的3D图
ax2 = fig.add_subplot(222, projection='3d')
surf2 = ax2.plot_surface(X, Y, phase, cmap=cm.hsv)
ax2.set_title('函数相位 arg(f(z))')
# 绘制模长和相位的等高线图
ax3 = fig.add_subplot(223)
contour1 = ax3.contourf(X, Y, modulus, 20, cmap=cm.coolwarm)
ax3.set_title('模长等高线图')
ax4 = fig.add_subplot(224)
contour2 = ax4.contourf(X, Y, phase, 20, cmap=cm.hsv)
ax4.set_title('相位等高线图')
plt.tight_layout()
plt.show()
3. 积分计算
def complex_integral(self, f, a, b, num_points=1000):
"""计算复变函数沿实轴的积分"""
if not np.isreal(a) or not np.isreal(b):
raise ValueError("目前仅支持沿实轴的积分")
def real_integrand(t):
return np.real(f(t))
def imag_integrand(t):
return np.imag(f(t))
real_integral, _ = integrate.quad(real_integrand, a, b)
imag_integral, _ = integrate.quad(imag_integrand, a, b)
return real_integral + 1j * imag_integral
4. 解析函数分析
def check_cauchy_riemann(self, u_expr, v_expr, x, y):
"""检查柯西-黎曼方程是否满足"""
du_dx = sp.diff(u_expr, x)
du_dy = sp.diff(u_expr, y)
dv_dx = sp.diff(v_expr, x)
dv_dy = sp.diff(v_expr, y)
cr1 = sp.simplify(du_dx - dv_dy)
cr2 = sp.simplify(du_dy + dv_dx)
results = {
'∂u/∂x': du_dx,
'∂u/∂y': du_dy,
'∂v/∂x': dv_dx,
'∂v/∂y': dv_dy,
'柯西-黎曼方程1 (∂u/∂x = ∂v/∂y)': cr1 == 0,
'柯西-黎曼方程2 (∂u/∂y = -∂v/∂x)': cr2 == 0,
'是否解析': cr1 == 0 and cr2 == 0
}
return results
使用说明
-
安装依赖：
pip install numpy matplotlib sympy scipy
-
基本用法：
from complex_analysis import ComplexAnalysis
# 创建分析器实例
analysis = ComplexAnalysis()
# 复数运算
z1 = 3 + 4j
z2 = 1 - 2j
print(f"z1 + z2 = {analysis.complex_add(z1, z2)}")
print(f"z1 * z2 = {analysis.complex_multiply(z1, z2)}")
# 复变函数
z = 1 + 1j
print(f"e^z = {analysis.complex_exp(z)}")
print(f"sin(z) = {analysis.complex_sin(z)}")
# 函数可视化
def f(z):
return z**3
analysis.plot_complex_function(f, x_range=(-2, 2), y_range=(-2, 2))
# 复积分
def integrand(z):
return z**2
integral = analysis.complex_integral(integrand, 0, 1)
print(f"∫[0,1] z^2 dz = {integral}")
# 柯西-黎曼方程检查
from sympy import symbols
x, y = symbols('x y')
u = x**2 - y**2 # Re(z^2)
v = 2 * x * y # Im(z^2)
results = analysis.check_cauchy_riemann(u, v, x, y)
print(f"函数是否解析: {results['是否解析']}")
-
示例输出：
z1 + z2 = (4+2j)
z1 * z2 = (11-2j)
e^z = (1.46869393991589+2.28735528717884j)
sin(z) = (1.29845758141598+0.634963914784736j)
∫[0,1] z^2 dz = (0.333333333333333+0j)
函数是否解析: True
扩展建议
-
增强功能：
- 添加沿任意路径的复积分计算
- 实现留数定理和围道积分
- 增加共形映射分析
- 支持多值函数（如复对数的不同分支）
-
用户界面：
- 开发命令行交互界面
- 创建图形界面（如使用 Tkinter 或 PyQt）
- 实现 Web 界面（如使用 Flask 或 Django）
-
性能优化：
- 针对大规模计算进行优化
- 添加并行计算支持
- 优化符号计算的效率
-
教学辅助：
- 添加复变函数概念解释和公式推导
- 提供函数可视化的动画演示
- 实现交互式可视化（如动态调整参数）