LDPC编译码中的Tanner图详解与MATLAB仿真

目录

1.LDPC 码的Tanner图表示

2. Tanner图的结构与表示

2.1 环（Cycle）

2.2 节点度（Degree）

2.3 二分图的周长（Girth）

3. 用MATLAB表示Tanner图

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        LDPC码（低密度奇偶校验码）是一种性能接近香农极限的线性分组码，由Tanner图表示其结构，通过迭代消息传递算法实现高效译码。

1963年,Gallager（麻省理工罗伯特·加拉格尔院士)在其博士论文中提出了LDPC码。

1982年 Tanner 使用图来表示LDPC码,推广了LDPC码。

LDPC属于线性分组码，常用校验矩阵或Tanner图来描述。

1.LDPC 码的Tanner图表示

Tanner图是一种二分图，用于直观表示LDPC码的结构，包含两类节点：

变量节点（Variable Nodes）：表示码字中的比特（通常用圆圈表示）。

校验节点（Check Nodes）：表示奇偶校验方程（通常用方块表示）

稀疏性：每个变量节点仅连接少量校验节点，每个校验节点仅连接少量变量节点。

二分图结构：变量节点和校验节点之间不存在直接连接。

对于一个 (7,4) LDPC 码，其Tanner图可能包含7个变量节点和3个校验节点，每个变量节点连接1-2个校验节点，每个校验节点连接3-4个变量节点。

2. Tanner图的结构与表示

       如果校验矩阵H的元素hij​=1，则变量节点i和校验节点j之间存在一条边。例如，对于一个简单的校验矩阵：

其Tanner图包含4个变量节点（v1​,v2​,v3​,v4​）和3个校验节点（c1​,c2​,c3​），连接关系如下：

c1​连接v1​,v2​,v4​

c2​连接v2​,v3​

c3​连接v1​,v3​,v4​

在Tanner图中，有这么几个核心概念：

2.1 环（Cycle）

       Tanner图中的环是指从一个节点出发，经过一系列不同的边和节点后回到原节点的路径。环的长度用边的数量表示。短环（如4环、6环）会降低 LDPC 码的译码性能，因此设计时应尽量避免。例如，在上述校验矩阵的Tanner图中，路径v1​→c1​→v2​→c2​→v3​→c3​→v1​构成一个长度为6 的环。

环对性能的影响：

短环会导致消息传递中的依赖性，降低译码效率。

长环（如周长≥8）可提高码的最小距离和译码阈值。

2.2 节点度（Degree）

变量节点的度：连接到该变量节点的校验节点数量。

校验节点的度：连接到该校验节点的变量节点数量。

度分布是LDPC码的重要参数，通常用多项式表示。例如，规则LDPC码的变量节点度分布为λ(x)=xdv​−1，校验节点度分布为ρ(x)=xdc​−1。

度分布对性能的影响：

非规则 LDPC 码通过优化度分布（如更多低度数变量节点和高度数校验节点）可获得更好的瀑布区性能。

优化目标是最大化 "EXIT 图" 中的译码门限。

2.3 二分图的周长（Girth）

       二分图的周长是指图中最短环的长度。对于LDPC码，周长越大，译码性能越好。理论上，LDPC码的周长最大为2log2​(n)。

3. 用MATLAB表示Tanner图

我们编写如下的matlab程序：

% 示例1: 随机生成一个稀疏校验矩阵
N = 20; % 变量节点数 (码长)
M = 10; % 校验节点数
d_v = 3; % 变量节点度
d_c = 6; % 校验节点度

% 创建规则LDPC校验矩阵
H = zeros(M, N);
for i = 1:N
    % 随机选择d_v个校验节点连接到变量节点i
    cols = randperm(M, d_v);
    H(cols, i) = 1;
end

% 可视化Tanner图
ldpc_tanner_graph(H, '随机规则LDPC码的Tanner图 (N=20, M=10)');

 

其中子函数ldpc_tanner_graph如下：

function ldpc_tanner_graph(H, title_str)
% LDPC_TANNER_GRAPH - 可视化LDPC码的Tanner图
% 输入:
%   H - 校验矩阵 (MxN)
%   title_str - 图标题 (可选)

if nargin < 2
    title_str = 'LDPC Tanner Graph';
end

[M, N] = size(H); % M: 校验节点数, N: 变量节点数

% 创建图形
figure('Position', [100, 100, 800, 600]);

% 设置节点位置
x_var = linspace(0.1, 0.9, N); % 变量节点x坐标
y_var = 0.1;                   % 变量节点y坐标

x_check = linspace(0.1, 0.9, M); % 校验节点x坐标
y_check = 0.9;                    % 校验节点y坐标

% 绘制边
hold on;
for i = 1:N
    for j = 1:M
        if H(j, i) == 1
            % 从变量节点到校验节点的边
            plot([x_var(i), x_check(j)], [y_var, y_check], 'k-', 'LineWidth', 0.5);
        end
    end
end

% 绘制变量节点 (圆形)
for i = 1:N
    h_var = rectangle('Position', [x_var(i)-0.02, y_var-0.02, 0.04, 0.04], ...
        'Curvature', [1, 1], 'FaceColor', [0.8, 0.9, 1.0], 'EdgeColor', 'b');
    text(x_var(i), y_var, num2str(i), 'HorizontalAlignment', 'center', ...
        'VerticalAlignment', 'middle', 'FontSize', 8);
end

% 绘制校验节点 (方形)
for j = 1:M
    h_check = rectangle('Position', [x_check(j)-0.02, y_check-0.02, 0.04, 0.04], ...
        'FaceColor', [1.0, 0.8, 0.8], 'EdgeColor', 'r');
    text(x_check(j), y_check, num2str(j), 'HorizontalAlignment', 'center', ...
        'VerticalAlignment', 'middle', 'FontSize', 8);
end

% 添加图例和标题
legend('变量节点', '校验节点', 'Location', 'best');
title(title_str);
axis equal;
axis off;

% 添加节点度统计
text(0.05, 0.5, ['变量节点平均度: ', num2str(mean(sum(H, 1)))], 'Rotation', 90);
text(0.95, 0.5, ['校验节点平均度: ', num2str(mean(sum(H, 2)))], 'Rotation', 90, 'HorizontalAlignment', 'right');

hold off;
end

tanner仿真效果图如下图所示：

通过上述步骤，可系统地生成LDPC码的Tanner图，为理解码结构和优化译码算法提供直观支持。