洛谷 P1758 [NOI2009] 管道取珠（DP）

题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P1758

思路

对于$\sum a_i^2$可以换一种理解方式：两个人在两个独立的管道中取球，输出序列相同的方案数。

因为对于每一种输出序列，第一个人有$a_i$种方案，第二个人有$a_i$种方案，那么两个人输出序列相同的方案总数就是​$\sum a_i^2$。

我们定义$f[k][i][j]$表示两个人都各取了$k$个球，第一个人在上管道取了$i$个球，第二个人在上管道取了$j$个球，两个人的输出序列相同的方案数。最后的答案就是$f[n+m][n][m]$。

因为两个人取的球的数目相同才能发生转移，所以讨论两个人当前从哪个管道中取的球，状态转移方程为：

• $f[k][i][j]+=f[k-1][i-1][j-1]\times (a[i]==a[j])$
• $f[k][i][j]+=f[k-1][i-1][j]\times (a[i]==b[k-j])$
• $f[k][i][j]+=f[k-1][i][j-1]\times (b[k-i]==a[j])$
• $f[k][i][j]+=f[k-1][i][j]\times (b[k-i]==b[k-j])$

时间复杂度：$O(n^3)$

代码

#define _USE_MATH_DEFINES
#include 

using namespace std;

constexpr long double pi = static_cast<long double>(M_PI);

#define int long long
#define double long double
#define endl "\n"

typedef long long i64;
typedef unsigned long long u64;
typedef __int128 i128;
typedef pair<int, int> pii;
typedef tuple<int, int, int> tiii;

const int N = 2e3 + 5, M = 5e3 + 15;
const int mod = 1024523;
const i64 inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;

std::mt19937 rnd(time(0));

int n, m;
char a[N], b[N];
int f[2][N][N];
void solve(int test_case)
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> b[i];
    }
    reverse(a + 1, a + 1 + n);
    reverse(b + 1, b + 1 + m);
    f[0][0][0] = 1;
    for (int k = 1; k <= n + m; k++)
    {
        int idx = k & 1;
        for (int i = 0; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 0; j <= n; j++)
            {
                f[idx][i][j] = 0;
            }
        }
        for (int i = max(0LL, k - m); i <= min(n, k); i++)
        {
            for (int j = max(0LL, k - m); j <= min(n, k); j++)
            {
                if (i && j && a[i] == a[j])
                {
                    f[idx][i][j] += f[idx ^ 1][i - 1][j - 1];
                    f[idx][i][j] %= mod;
                }
                if (i && k - j && a[i] == b[k - j])
                {
                    f[idx][i][j] += f[idx ^ 1][i - 1][j];
                    f[idx][i][j] %= mod;
                }
                if (k - i && j && b[k - i] == a[j])
                {
                    f[idx][i][j] += f[idx ^ 1][i][j - 1];
                    f[idx][i][j] %= mod;
                }
                if (k - i && k - j && b[k - i] == b[k - j])
                {
                    f[idx][i][j] += f[idx ^ 1][i][j];
                    f[idx][i][j] %= mod;
                }
            }
        }
    }
    cout << f[(n + m) & 1][n][n] << endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int test = 1;
    // cin >> test;
    for (int i = 1; i <= test; i++)
    {
        solve(i);
    }
    return 0;
}