数列变形中隐含条件的指向作用

前言

数列变形中往往是有隐含条件来表明变形的方向的，以下举例说明，希望引起各位的注意。

隐含条件

$引例$：已知$a_1=2$，$a_2=6$，$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2$，证明：$\{a_{n+1}-a_n\}$为等差数列；

则“$\{a_{n+1}-a_n\}$为等差数列”为题目中的隐含条件，为什么这样说呢？

一般碰到这样的题目，我们的难点往往是看不清变形的方向，这时候仔细研究隐含条件，

则可以知道，变形过程中必然会出现以下的形式，

$(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=d$，此时的常数$d$待定，

如果我们打开整理，得到$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=d$，

比照已知条件，则可知$d=2$，由此也就知道了变形的方向，

应该首先将给定条件变形为$(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=2$，

这样我们就充分利用了题目的隐含条件，找到了变形方向。

如果题目变为已知$a_1=2$，$a_2=6$，$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2$，求数列$\{a_n\}$的通项公式，则隐含条件消失，题目的难度立马变大了。

其他形式

比如题目中告诉我们数列是个正项数列，则题目中可能用到：

①两边同时约分，比如$(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n-2)=0$，约分得到$a_{n+1}-a_n=2$；

②两边同时开平方，比如$S_n^2=n$，则$S_n=\sqrt{n}$有意义；

③两边同时取对数，则$ln{a}_n$有意义；

案例说明

$例1$、【2018山东济宁二模】已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\frac{3}{2}$，$4a_{n+1}=4a_n^2+4a_n-1$，

(1)证明：数列$\{lg(a_n+\frac{1}{2})\}$为等比数列；

【分析法】：由于数列$\{lg(a_n+\frac{1}{2})\}$为等比数列，

则必有这样的等式成立，即$\frac{lg(a_{n+1}+\frac{1}{2})}{lg(a_n+\frac{1}{2})}=q$，

那么必有$lg(a_{n+1}+\frac{1}{2})=q\cdot lg(a_n+\frac{1}{2})$

则$lg(a_{n+1}+\frac{1}{2})=lg(a_n+\frac{1}{2}{)}^q$，

则$a_{n+1}+\frac{1}{2}=(a_n+\frac{1}{2}{)}^q$，

比对已知条件，可知$q=2$，这样就有

$a_{n+1}+\frac{1}{2}=(a_n+\frac{1}{2}{)}^2$，

再次比对已知条件，发现还需要两边同时乘以常数4，

$4(a_{n+1}+\frac{1}{2})=4(a_n+\frac{1}{2}{)}^2$，

打开整理，发现上式为$4a_{n+1}+2=4a_n^2+4a_n+1$①，

而已知条件为$4a_{n+1}=4a_n^2+4a_n-1$②，

二者的差别是给①式的两边同时减去常数2，即得到②式，

到此，由给定条件向待证结论之间的桥梁完全打通，整理如下：

【综合法】：由于$4a_{n+1}=4a_n^2+4a_n-1$，

则$4a_{n+1}+2=4a_n^2+4a_n+1$，即 4 ( a n + 1 + 1 2 ) = ( 2 a n + 1 ) 2 = 4 ( a n + 1 2 ) 2 4(a_{n+1}+\cfrac{1}{2})=(2a_n+1)^2=4(a_{n}+\cfrac{1}{2})^2 4(a