函数或曲线恒过定点

前言

函数或曲线恒过定点问题，在高中数学中很常见，也很容易被忽视，如果函数或曲线恒过定点这个隐含条件使用的好，能大大方便我们的解题。

低阶储备

在分析函数恒过定点的问题时，即可以从形的角度[做函数图像+图像变换]来思考，当然更可以从数的角度[直接计算]来思考；一般来说，一个数的问题，往往有与之相应的形的问题和其对应；自然，一个形的问题，往往有与之相应的数的问题和其对应。以下主要从数的角度来计算说明；

①一次函数$y=kx+1$恒过定点$(0，1)$，由于$x=0$时，不论$k$为何值，都有$y=1$，故其恒过定点$(0，1)$；

同理，一次函数$y=k(x-1)+3$恒过定点$(1，3)$， 由于$x-1=0$时，即$x=1$时，不论$k$为何值，都有$y=3$，故其恒过定点$(1，3)$；

正因为这样，当直线经过点$(0,1)$时，我们常常设其解析式为$y=kx+1$，当直线经过点$(1,0)$时，我们常常设其解析式为$x=ky+1$；

[补充]函数$y=(m-1)x+m$，恒过定点$(-1,1)$问题：在具体题目中如何观察确定直线所恒过的定点，采用尝试法，即分别用$x=0$，$x=\pm 1$，$x=\pm 2$，$\cdots$ \quad ，

②指数函数$y=a^x(a>0，a\ne 1)$恒过定点$(0,1)$，理由：当$x=0$时，不论$a$为何值，都有$y=a^0=1$，故其恒过定点$(0,1)$；

同理，指数型函数$y=a^{x-2}(a>0，a\ne 1)$恒过定点$(2,1)$，理由：当$x-2=0$时，即$x=2$时，不论$a$为何值，都有$y=a^0=1$，故其恒过定点$(2,1)$；

指数型函数$y=2^{x-a}+2$恒过定点$(a，3)$，理由：当$x-a=0$时，即$x=a$时，都有$y=2^0+2=3$，故其恒过定点$(a,3)$；

但是注意：指数型函数$y=a\cdot e^x(a>0)$并不恒过定点$(0，1)$，而是恒过动点$(0，a)$；

指数型函数$y=e^x+e^{-x}$恒过定点$(0，2)$，则指数型函数$y=e^{x-2}+e^{2-x}$恒过定点$(2，2)$；

指数型函数$y=e^x-e^{-x}$恒过定点$(0，0)$，则指数型函数$y=e^{x+1}-e^{-1-x}$恒过定点 ( − 1