三角函数周期的求法

前言

总结高考中可能用到的三角函数的周期的求解方法：定义法，公式法，图像法，转化法，定理法[参照网络]；

定义法

• 定义法，利用$f(x+T)=f(x)$，$T\ne 0$，则$T$为函数的一个周期；

【定义法】已知函数 $f(x)=\cos (\cos x)+\sin (\cos x)$，试求其最小正周期。

分析：此函数为复合函数，内函数 $y=\cos x$ 为周期函数，故我们尝试用内函数的最小正周期 $2\pi$ 来验证，

$f(x+2\pi )=\cos [\cos (x+2\pi )]+\sin [\cos (x+2\pi )]=\cos (\cos x)+\sin (\cos x)=f(x)$，

故 $2\pi$ 为函数$f(x)$ 的周期，那么是不是最小正周期呢？再用 $\pi$ 来验证，

$f(x+\pi )=\cos [\cos (x+\pi )]+\sin [\cos (x+\pi )]=\cos (\cos x)-\sin (\cos x)\ne f(x)$，

则 $\pi$ 不是函数$f(x)$ 的周期，综上可知，函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$ .

【人教$2019$版$P_{201}$例$2$第$3$题】求 $y=f(x)=2\sin (\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6})$ 的周期；

解：令 $z=\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6}$，由 $x\in R$ 得 $z\in R$，且 $y=2\sin z$ 的周期为 $2\pi$ ，即

$2\sin (z+2\pi )=2\sin z$，即 $2\sin (\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6}+2\pi )=2\sin (\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6})$

所以，$2\sin [\frac{1}{2}(x+4\pi )-\frac{\pi }{6}]=2\sin (\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6})$

即 $f(x+4\pi )=f(x)$，由周期函数的定义可知，原函数的周期为 $4\pi$ 。

公式法

对于$f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )+k$型，$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；¹

对于$f(x)=A\cos (\omega x+\varphi )+k$型，$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；

对于$f(x)=A\tan (\omega x+\varphi )+k$型，$T=\frac{\pi }{|\omega |}$；

求$f(x)=\cos (mx+\frac{\pi }{3})(m\ne 0)$的最小正周期；

分析：$T=\frac{2\pi }{|m|}$；

图象法

• 图像法，常适用于含有绝对值[或两个]的函数，

【备忘】求$y=|\sin \frac{x}{2}|$的最小正周期；

分析：$y=\sin \frac{x}{2}$的最小正周期为$T=4\pi$，然后做出整个图像，你会发现其最小正周期减半了，故最小正周期为$T=2\pi$；

转化法

• 转化法，对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为正弦型或者正切型等类型，再用公式法求解。

【2018.高考全国卷Ⅲ】函数 $f(x)=\frac{\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$ 的最小正周期为 【 \qquad 】

$A.\cfrac{\pi}{4}$ $B.\cfrac{\pi}{2}$ $C.\pi$ $D.2\pi$

解析： 转化法求解，利用切化弦的思路，转化为正(余)弦型，再用公式求解；

由已知得 $f(x)=\frac{\tan x}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{1+{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^2}$

= sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ x