傅里叶变换原理与scipy.fft模块应用（九）

引言

傅里叶变换是信号处理和分析领域中最为强大的数学工具之一。它能够将信号从时域（随时间变化的表示）转换到频域（频率成分的表示），从而帮助我们从不同角度理解信号的特性。傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信工程、谱分析等领域有着广泛的应用。
本教程将深入探讨傅里叶变换的数学基础，详细介绍scipy.fft模块中主要函数的使用方法，对比时域和频域分析的实现差异，并通过实际案例演示频谱分析与滤波的工程实践方法。通过本教程，您将获得对傅里叶变换原理和应用的全面理解。

傅里叶变换的基本原理

连续傅里叶变换

傅里叶变换的核心思想是任何连续测量的时序或信号都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。连续傅里叶变换(CFT)将一个连续时间信号转换为连续频率信号，其数学表达式为：
$$X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$$
其中：

• $x(t)$ 是时域信号
• $X(f)$ 是频域信号
• $f$ 是频率
• $j$ 是虚数单位

离散傅里叶变换

在实际应用中，我们处理的是数字信号，这些信号是离散的。因此，我们使用离散傅里叶变换(DFT)：
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$$
其中：

• $x$